高中数学公式是学生在解题过程中必须掌握的重要工具，下面将详细介绍高中数学中的主要公式，包括集合与函数、初等函数、三角函数、数列、因式分解、抛物线方程、解三角形、立体几何和不等式的性质公式，每个类别的公式都经过详细分类，并附有解释和示例，以便更好地理解其应用，具体如下：
一、集合与函数
1、集合公式
元素与集合的关系
- \( x \in A \)：元素x属于集合A。
- \( x
otin A \)：元素x不属于集合A。
- \( A \subseteq B \)：集合A包含于集合B。
- \( A = B \)：集合A等于集合B。
集合运算
- \( A \cup B \)：集合A和集合B的并集。
- \( A \cap B \)：集合A和集合B的交集。
- \( A - B \)：集合A减去集合B的差集。
- \( A \times B \)：集合A和集合B的笛卡尔积。
2、函数的基本性质
单调性：若对于任意\( x_1, x_2 \in D \)，当\( x_1 < x_2 \)时，总有\( f(x_1) \leq f(x_2) \)，则称函数f在D上是增函数。
奇偶性：若对于任意\( x \in D \)，有\( f(-x) = f(x) \)，则称函数f为偶函数；若\( f(-x) = -f(x) \)，则称函数f为奇函数。
二、初等函数
1、幂函数
- \( y = x^n \)：其中n为常数。
- 常见幂函数图像及性质：如\( y = x^2 \)开口向上，\( y = x^{-1} \)是双曲线。
2、指数函数
- \( y = a^x \)：其中a为常数且\( a > 0, a
eq 1 \)。
- 常见性质：\( a^0 = 1 \)，\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)。
3、对数函数
- \( y = \log_a x \)：其中a为常数且\( a > 0, a
eq 1 \)。
- 换底公式：\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \)。
三、三角函数
1、基本公式
- 角度与弧度关系：\( 180^\circ = \pi \)弧度。
- 正弦、余弦定义：\( \sin(\theta) = \frac{对边}{斜边} \)，\( \cos(\theta) = \frac{邻边}{斜边} \)。
- 诱导公式：\( \sin(\theta) = \sin(\theta + 2k\pi) \)，\( \cos(\theta) = \cos(\theta + 2k\pi) \)。
2、恒等变换公式
- 和差化积公式：\( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \)。
- 积化和差公式：\( \sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \)。
- 倍角公式：\( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)，\( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \)。
四、数列
1、等差数列
- 通项公式：\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)。
- 前n项和公式：\( S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] \)。
2、等比数列
- 通项公式：\( a_n = a_1 q^{n-1} \)。
- 前n项和公式：\( S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \)（当q≠1时）。
五、因式分解
1、基本方法
- 提取公因式法：如\( ax + by + cx = (a + b)x \)。
- 公式法：如完全平方公式\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
六、抛物线方程
1、标准方程
- 焦点在x轴上：\( y^2 = 4ax \)。
- 焦点在y轴上：\( x^2 = 4ay \)。
七、解三角形
1、基本定理
- 正弦定理：\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)（R为外接圆半径）。
- 余弦定理：\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)。
- 面积公式：\( S = \frac{1}{2}bc\sin A \)。
八、立体几何
1、表面积与体积公式
- 长方体表面积：\( S = 2(ab + bc + ca) \)。
- 长方体体积：\( V = abc \)。
- 球的表面积：\( S = 4\pi r^2 \)。
- 球的体积：\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)。
九、不等式的性质
1、基本性质
- 对称性：若\( a > b \)，则\( b < a \)。
- 传递性：若\( a > b \)且\( b > c \)，则\( a > c \)。
- 加法单调性：若\( a > b \)，则\( a + c > b + c \)。
- 乘法单调性：若\( a > b \)且\( c > d \)，则\( ac > bd \)(正值情况下)。
通过以上内容，可以全面系统地了解和掌握高中数学中各类重要公式，从而为解题提供坚实的基础。
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