在高中数学中，数字3和4常作为基础元素出现在各类题型中，以下从不同知识模块列举典型例题，帮助读者理解其应用场景与解题思路。
一、代数与函数
例题1：已知方程 \( x^2 - 3x + 4 = 0 \，求其根的模长。
解析：计算判别式 \( \Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = -7 \)，因判别式小于0，方程存在共轭虚根，设根为 \( x = a \pm bi \)，则模长 \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{c}{a}} = \sqrt{4} = 2 \)。
例题2：若函数 \( f(x) = 3^x + 4 \)，求 \( f^{-1}(13) \) 的值。
解析：设 \( 3^y + 4 = 13 \)，解得 \( 3^y = 9 \)，故 \( y = 2 \)，即 \( f^{-1}(13) = 2 \)。
二、几何与三角
例题3：三棱锥底面为边长3的正三角形，侧棱长均为4，求其体积。
解析：底面面积 \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \)，顶点投影到底面中心，高 \( h = \sqrt{4^2 - ( \frac{\sqrt{3}}{3} \times 3 )^2 } = \sqrt{13} \)，体积 \( V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{13} = \frac{3\sqrt{39}}{4} \)。
例题4：在△ABC中，已知 \( \angle A = 30^\circ \)，\( AB = 4 \)，\( BC = 3 \，求 \( \sin C \)。
解析：由正弦定理得 \( \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{\sin C} \)，解得 \( \sin C = \frac{4 \times 0.5}{3} = \frac{2}{3} \)。
三、概率与统计
例题5：从标号1至4的卡片中随机抽取3张，求数字之和为偶数的概率。
解析：总数 \( C_4^3 = 4 \) 种，和为偶数需满足“1奇2偶”或“3奇”，但1至4中仅2个奇数（1,3），无法抽到3奇，符合条件的组合为 \( C_2^1 \times C_2^2 = 2 \)，故概率 \( P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)。
例题6：某数据集中3个数据为4、5、6，加入第4个数后方差变为3，求第4个数。
解析：原数据平均值 \( \bar{x} = 5 \)，方差 \( \frac{(1+0+1)}{3} = \frac{2}{3} \)，设新数为 \( a \)，新方差 \( \frac{(1+0+1+(a-5)^2)}{4} = 3 \)，解得 \( (a-5)^2 = 10 \)，故 \( a = 5 \pm \sqrt{10} \)。
四、数列与推理
例题7：等差数列前3项和为12，前4项和为22，求公差d。
解析：设首项为 \( a_1 \)，则 \( 3a_1 + 3d = 12 \)，\( 4a_1 + 6d = 22 \)，解得 \( a_1 = 2 \)，\( d = 2 \)。
作为高中数学教师，建议学生通过此类题目体会数字的“工具性”——3和4不仅是参数，更可能隐含几何特征（如勾股数）、对称性（如概率组合）等深层联系，熟练识别题干中的数字关联，可提升解题效率。
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