数学公式是解题的核心工具，尤其在高中阶段，掌握二级公式能够快速提升解题效率，本文将梳理高中数学中高频出现的二级公式，并说明其应用场景，帮助学生构建完整的知识框架。
一、三角函数进阶公式
1、和角公式与差角公式
$$ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $$
$$ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $$
这类公式在解三角形、求极值问题中尤为关键，若题目中出现“求 $\sin75^\circ$ 的值”，可直接套用 $\sin(45^\circ+30^\circ)$ 展开计算。
2、辅助角公式
$$ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi) $$
$\tan \phi = \frac{b}{a}$，适用于将线性三角函数转化为单一函数形式，便于分析周期性或最值。
二、向量与坐标几何公式
1、向量投影公式
$$ \text{向量 } \vec{a} \text{ 在 } \vec{b} \text{ 上的投影长度：} \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} $$
该公式可用于计算力的分解、几何图形中点的位置关系等问题。
2、点到直线的距离公式
直线 $Ax+By+C=0$ 到点 $(x_0,y_0)$ 的距离：
$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$
此公式在解析几何中频繁出现，尤其在求最值或证明位置关系时。
三、导数与微积分基础
1、常见函数的导数公式
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(e^x)' = e^x$
- $(\sin x)' = \cos x$
导数是研究函数单调性、极值的重要工具，求 $f(x)=x^3-3x$ 的极值点时，需先求导并解方程 $3x^2-3=0$。
2、复合函数求导法则
$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
此法则在解决嵌套函数问题时不可或缺，如求 $y=\sin(2x+1)$ 的导数。
四、概率与统计核心公式
1、条件概率公式
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
该公式用于分析事件间的依赖关系，例如从扑克牌中连续抽牌的概率问题。
2、二项分布期望与方差
- 期望 $E(X) = np$
- 方差 $D(X) = np(1-p)$
适用于独立重复试验的概率计算，如抛硬币出现正面的次数分布。
五、数列与级数拓展公式
1、裂项相消法通项公式
$$ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right) $$
常用于求和 $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ 类问题，通过拆分项实现快速计算。
2、等比数列求和变式
$$ S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1) $$
该公式可推广到无穷等比级数（$|q|<1$ 时，$S = \frac{a_1}{1-q}$）。
个人观点
公式的熟练应用离不开推导过程的理解，辅助角公式的本质是向量的合成，而导数公式的推导则基于极限思想，建议学生在记忆时结合几何意义或物理背景，避免机械背诵，二级公式的掌握需通过针对性练习巩固，例如每日选择3-5道综合题，刻意训练公式的灵活调用能力。
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