高中数学的学习过程中，掌握典型母题是快速提升解题能力的关键，母题作为知识点的核心载体，能够帮助考生理解命题规律，并触类旁通应对各类变式题，以下从不同知识模块整理部分高频母题，供学生参考。
一、函数与导数
1、二次函数图像与性质
题目示例：已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的图像经过点 (1, 2)，且在 \( x=3 \) 处取得极值，求 \( a, b, c \)。
考察方向：二次函数解析式求解、极值点的代数应用。
解题思路：结合函数图像特征，通过待定系数法建立方程组。
变式方向：结合不等式考查函数取值范围，或与几何问题联动。
2、导数与单调性分析
题目示例：求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的单调区间。
考察方向：导数运算、导函数符号与函数单调性的关系。
解题思路：求导后分析导函数零点，划分区间讨论符号变化。
二、数列与数学归纳法
1、等差数列与等比数列综合
题目示例：已知数列 \(\{a_n\}\) 前 \(n\) 项和 \(S_n = 2n^2 + 3n\)，求通项公式并判断是否为等差或等比数列。
解题关键：利用 \(a_n = S_n - S_{n-1}\) 推导通项，结合定义验证数列性质。
2、递推数列求通项
经典模型：形如 \(a_{n+1} = pa_n + q\) 的一阶线性递推，可通过构造等比数列求解。
三、立体几何与向量
1、空间几何体表面积与体积
母题类型：已知三棱锥的棱长或空间坐标，计算其体积或外接球半径。
核心方法：分割补形法、向量坐标法。
2、向量与线面位置关系
典型例题：给定空间直角坐标系中平面方程与直线方程，判断两者位置关系（平行、相交、重合）。
解题要点：利用法向量与方向向量的数量积分析。
四、概率与统计
1、条件概率与全概率公式
常见题型：涉及多个事件的分步概率问题，需通过树状图或公式拆分求解。
2、分布列与期望计算
高频考点：结合实际问题（如抽奖、比赛得分）建立离散型随机变量分布列，计算期望与方差。
五、解析几何
1、直线与圆锥曲线位置关系
母题原型：已知直线方程与椭圆（或双曲线、抛物线）方程，求交点、弦长或参数范围。
通法：联立方程后结合判别式分析。
2、轨迹方程求解
经典问题：动点满足特定几何条件（如到定点距离与定直线距离之比为常数），求轨迹方程。
个人观点
高中数学母题的训练需注重“一题多解”与“多题归一”，几何问题既可用传统综合法，也可用向量或坐标系工具处理；而数列与函数题往往存在代数与数形结合的多种思路，建议学生在练习时优先吃透教材例题，再通过模拟题拓展变式，避免盲目刷题。
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