高中数学学习中，掌握核心母题是提升解题效率的关键，母题代表一类问题的通用解法，能帮助学生举一反三，应对各类变式题，以下梳理高中数学常见主题的核心母题，供学生参考。
一、函数与方程
1、二次函数图像与性质
通过分析开口方向、顶点坐标、对称轴等要素，解决最值问题、根的分布问题，例如含参数的二次函数在区间上的取值范围分析。
2、指数对数方程转化
将复杂方程转化为同底数形式，或通过换元法简化运算，如解方程 \(2^{x+1} + 4^{x} = 5\)。
3、函数单调性证明
利用导数或定义法证明函数单调区间，常见于含参函数讨论，\(f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d\) 的单调性分析。
二、立体几何
1、空间向量求角
用向量坐标法计算异面直线夹角、二面角大小，需熟练掌握向量点积公式。
2、三棱锥体积最值
结合空间坐标系与不等式，解决动态几何体的体积优化问题，如正三棱锥高度变化时的最大体积。
3、线面平行判定
通过线线平行、面面平行递推证明线面平行，常与中位线定理、平行四边形性质结合。
三、概率与统计
1、条件概率实际应用
用贝叶斯公式解决疾病检测、抽奖概率等问题，重点区分 \(P(A|B)\) 与 \(P(B|A)\) 的关系。
2、正态分布对称性解题
利用 \(3\sigma\) 原则计算分布概率，例如产品合格率或考试成绩分布问题。
3、线性回归方程解读
根据最小二乘法得出的回归方程，解释变量间相关性，注意区分相关关系与因果关系。
四、数列与数学归纳法
1、递推数列求通项
通过构造等差、等比数列或特征方程法，求解 \(a_{n+1} = pa_n + q\) 型递推式。
2、错位相减法求和
处理等差与等比数列乘积型求和，如 \(S_n = 1×2 + 3×2^2 + 5×2^3 + \cdots\)。
3、数学归纳法证不等式
重点把握从 \(n=k\) 到 \(n=k+1\) 的过渡技巧，尤其涉及放缩法的使用场景。
五、导数与微积分
1、极值点偏移问题
通过构造函数证明 \(x_1 + x_2 > 2x_0\) 类命题，需结合导数与函数图像特征。
2、不等式恒成立求参
分离参数转化为最值问题，注意讨论端点值，\(∀x>0, ae^x ≥ x+1\) 求 \(a\) 范围。
3、定积分求面积优化
结合几何图形建立积分表达式，解决旋转体体积或平面区域面积最值问题。
个人观点：母题的价值在于提炼共性规律，建议学生建立母题本，标注每类题型的突破点与易错环节，例如函数题优先考虑定义域，几何题先画坐标系，真正吃透20道典型母题，胜过盲目刷200道题。
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