一、函数与求导题
| 题目 | 解析 |
| 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求其单调区间和极值点。 | 1. 求导数：\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)； 2. 解方程 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \)。 3. 分析导数符号变化确定单调区间：当 \( x< 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x)< 0 \)，函数单调递减。 4. 计算极值点：当 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 0 \)，所以极大值为0。 |
二、椭圆题
| 题目 | 解析 |
| 已知椭圆的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，直线 \( y = kx + m \) 经过椭圆的右焦点且与椭圆交于A、B两点，求椭圆离心率的取值范围。 | 1. 设椭圆右焦点为 \( F(c,0) \)，\( c = \sqrt{a^2 - b^2} \)； 2. 代入直线方程得交点坐标； 3. 利用弦长公式或韦达定理求解离心率范围，具体步骤需根据题目条件细化。 |
三、数列题（难题篇）
| 题目 | 解析 |
| 已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=an+ln(an+1)，求通项公式及前n项和。 | 1. 由递推关系构造新数列 {bn}，令 bn=an+1； 2. 证明 {bn} 是等比数列； 3. 求出 {bn} 的通项公式后回代求 {an}； 4. 利用错位相减法或裂项相消法求前n项和。 |
四、综合题
| 题目 | 解析 |
| 某数列的前n项和为Sn，已知Sn=n^2+n，求通项公式an及数列 {an} 的性质。 | 1. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n； 2. 验证当n=1时，a1=S1=2成立； 3. 故通项公式为an=2n； 4. 可进一步探讨数列的单调性、有界性等性质。 |
这些题目涵盖了高中数学中的多个难点和重点，通过详细的解析和示例，希望能帮助学生更好地理解和掌握这些知识点，在实际应用中，还需要根据具体题目灵活运用各种解题方法和技巧。
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