已知a + b = 30，如何求ab的最大值？

已知 a + b = 30，如何求 ab 的最大值？

a + b = 30，要求 ab 的最大值，你是不是觉得有点无从下手？别急，咱们一步步拆解，掌握这个经典题型背后的数学智慧。

核心思路：把两个变量的问题转化为一个变量 给了 a + b = 30 这个条件，但有两个未知数 a 和 b，求 ab 的最大值，关键在于利用这个条件，把 ab 表达成只含有一个变量（a 或 b）的形式，这样就能用熟悉的二次函数知识来求最值了。

代入法（基础且常用）

1. 用 a 表示 b： 由 a + b = 30，可以直接得到 b = 30 - a。
2. 代入乘积： 把 b = 30 - a 代入到 ab 中，得到：ab = a * (30 - a) = 30a - a²。
3. 构造二次函数： ab 就变成了关于 a 的一个二次函数：f(a) = -a² + 30a。
4. 求最大值： 这是一个开口向下的抛物线（因为 a² 的系数 -1 < 0），所以它的最大值出现在顶点处。
   • 抛物线的顶点横坐标公式是：a = -b / (2a)（这里 a 是二次项系数，b 是一次项系数）。
   • 对应我们的函数 f(a) = -a² + 30a，二次项系数 A = -1，一次项系数 B = 30。
   • 所以顶点横坐标：a = -30 / (2 * (-1)) = 30 / 2 = 15。
5. 计算最大值： 把 a = 15 代回函数：
   • b = 30 - 15 = 15。
   • ab = 15 * 15 = 225。
   • 或者直接计算：f(15) = -(15)² + 30 * 15 = -225 + 450 = 225。

当 a = 15, b = 15 时，ab 取得最大值 225。

利用均值不等式（更快捷）

初中阶段可能接触过“两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这个重要结论（也称为基本不等式或均值不等式）：

对于任意两个非负实数 a 和 b，有：(a + b)/2 ≥ √(ab) 当且仅当 a = b 时，等号成立。

这个不等式告诉我们：两个数的和固定时，它们的几何平均数 √(ab) 最大只能等于算术平均数 (a+b)/2，也就是说，当两数相等时，它们的乘积 ab 达到最大。

1. 应用不等式： 已知 a + b = 30，根据均值不等式：
   • (a + b)/2 ≥ √(ab)
   • 即 30 / 2 ≥ √(ab)
   • 得到 15 ≥ √(ab)
2. 求 ab： 对不等式 15 ≥ √(ab) 两边平方（因为两边都是非负数，平方后不等号方向不变）：
   • (15)² ≥ (√(ab))²
   • 225 ≥ ab
   • 也就是 ab ≤ 225
3. 取等条件： 当且仅当 a = b 时，等号成立，ab 取得最大值 225。
   • 结合 a + b = 30，立刻得到 a = 15, b = 15。

这个方法直接利用重要结论,计算量小，非常高效，理解并记住均值不等式及其取等条件（两数相等），是解决这类和定积最大问题的利器。

二次函数图像法（直观理解）

与方法一类似,画出 ab = -a² + 30a 的图像，这是一个开口向下的抛物线，顶点 (15, 225) 就是最高点，纵坐标 225 ab 的最大值，图像能帮助我们直观地看到最大值点和取值。

核心要点回顾

• 转化思想： 利用 a + b = 30 将双变量问题转化为单变量问题 ab = -a² + 30a 是关键。
• 二次函数性质： 开口向下的抛物线在顶点处取得最大值。
• 均值不等式： 和（a + b）固定时，积（ab）在两数相等时最大，这是解决此类问题最本质、最快捷的方法，务必理解其原理和取等条件。
• 答案： ab 的最大值是 225，当且仅当 a = b = 15 时取得。

为什么是15？ 中 30 这个数字很巧妙，根据均值不等式，最大值点就是当 a 和 b 都等于总和的一半时，即 30 / 2 = 15，如果和是 S，那么最大值点就是 a = b = S/2，最大积是 (S/2) * (S/2) = S²/4，所以题目换成 a + b = S，求 ab 最大值，答案就是 S²/4，在 a = b = S/2 时取到，下次再遇到类似问题，比如周长一定的矩形面积最大，或者和一定求积最大，记住这个思路，很多题目都能迎刃而解，数学的魅力就在于找到这些普遍规律，掌握它，你会发现解题越来越轻松。