高中数学二次结论有哪些？

核心二次函数与方程结论精析

二次函数与方程是高中数学的基石,其蕴含的规律对解题效率提升至关重要，以下精选高频应用结论，助您深化理解：

二次函数图像与性质

顶点坐标公式： 函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为 $\left( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a} \right)$ 或 $\left( -\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)$ ，这是确定函数最值（ $a>0$ 最小值， $a<0$ 最大值）和对称轴（ $x = -\dfrac{b}{2a}$ ）的关键。
交点与判别式： 函数图像与 x 轴交点个数由判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定： $\Delta > 0$ 两个交点， $\Delta = 0$ 一个交点（顶点在轴上）， $\Delta < 0$ 无交点。
参数 $a, b, c$ 作用： $a$ 决定开口方向与大小； $a$ 与 $b$ 共同决定对称轴位置（对称轴在 y 轴左侧则 $ab > 0$ ，右侧则 $ab < 0$ ）； $c$ 表示图像与 y 轴交点纵坐标。

二次方程根的特性

求根公式： 方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x = \dfrac{ -b \pm \sqrt{\Delta} }{2a}$ ( $\Delta \geq 0$ )。
韦达定理（根与系数关系）： 若方程有两实根 $x_1, x_2$ ( $\Delta \geq 0$ )，则：
- $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
- $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$
根的分布（结合函数图像）： 判断根的正负、区间分布（如两根均大于某值、一正一负等），需综合判别式、对称轴位置、端点函数值符号分析，方程在区间 $(m, n)$ 内有且仅有一个根的条件常需满足 $f(m) \cdot f(n) < 0$ 。

实用拓展结论

二次函数零点式： 若函数图像与 x 轴交点为 $(x_1, 0)$ , $(x_2, 0)$ ，则可写作 $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ 。
二次三项式恒成立条件：
- $ax^2 + bx + c > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立 $\Leftrightarrow a > 0$ 且 $\Delta < 0$ 。
- $ax^2 + bx + c < 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立 $\Leftrightarrow a < 0$ 且 $\Delta < 0$ 。
二次函数与直线交点： 将直线方程代入二次函数，所得二次方程的判别式 $\Delta$ 直接反映两者交点个数。

应用示例

已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 。

求顶点坐标： $x_v = -\dfrac{-2}{2 \times 1} = 1$ , $y_v = 1^2 - 2 \times 1 - 3 = -4$ ，顶点 $(1, -4)$ 。

判断与 x 轴交点： $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16 > 0$ ，有两个交点，解方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 得 $x_1 = -1$ , $x_2 = 3$ (验证韦达定理： $-1 + 3 = 2 = -\dfrac{-2}{1}$ , $(-1) \times 3 = -3 = \dfrac{-3}{1}$ ）。

写零点式： $y = (x - (-1))(x - 3) = (x+1)(x-3)$ 。