高中数学换元法有哪些题？

核心题型与实战解析

换元法作为高中数学解题的精巧工具,其核心在于通过引入新变量替代复杂表达式，化繁为简，掌握其常见应用题型，能显著提升解题效率与准确性，以下是高中数学中换元法的主要应用场景及典型例题解析：

当表达式含有根号（如√(ax+b)）时，通过设新变量替换根号整体，常能转化为熟悉的有理方程或函数求解。

例题1： 求函数 y = √(x + 1) + √(x - 1) 的值域。 ◆ 解题步骤：

观察结构：含√(x+1)和√(x-1)，定义域为x ≥ 1。
设元转化： 令 t = √(x + 1) + √(x - 1) (t > 0)。
寻求关系：计算 t² = (√(x + 1) + √(x - 1))² = (x + 1) + 2√((x + 1)(x - 1)) + (x - 1) = 2x + 2√(x² - 1)。
再设元简化：令 u = √(x² - 1) (u ≥ 0)，则 t² = 2x + 2u。
建立联系：由 u² = x² - 1 得 x² = u² + 1，代入 t² 表达式需解 x 与 u 关系较复杂，需另寻途径。
调整思路（关键）：利用平方差公式： (√(x + 1) + √(x - 1))(√(x + 1) - √(x - 1)) = (x + 1) - (x - 1) = 2。令 s = √(x + 1) - √(x - 1) (s > 0)，则有 t * s = 2。
联立求解：得到方程组： { t + s = ? { t * s = 2 需求 t + s：计算 (t + s)² = t² + 2ts + s² = [2x + 2√(x² - 1)] + 2*2 + [2x - 2√(x² - 1)] = 4x + 4。又 (t - s)² = t² - 2ts + s² = [2x + 2u] - 4 + [2x - 2u] = 4x - 4。由 (t + s)² = 4(x + 1)，(t - s)² = 4(x - 1)，且 t > s > 0，故 t + s = 2√(x + 1)，t - s = 2√(x - 1)。
最终解决：由 t * s = 2 且 s = 2 / t，代入 t + s = 2√(x + 1)： t + 2/t = 2√(x + 1)，由定义域 x ≥ 1 得 √(x + 1) ≥ √2，故 t + 2/t ≥ 2√2。根据基本不等式，t + 2/t ≥ 2√(t * 2/t) = 2√2，当且仅当 t = √2 时取等，因此函数值域为 [√2, +∞)。

对于次数较高的多项式方程或不等式,通过换元可降低次数，使其易于处理。

例题2： (高考真题改编) 解方程：(x² + 3x - 4)² + 3(x² + 3x - 4) - 4 = 0。 ◆ 解题步骤：

观察重复结构：表达式 x² + 3x - 4 反复出现。
设元转化： 令 t = x² + 3x - 4，原方程变为：t² + 3t - 4 = 0。
求解新方程：(t + 4)(t - 1) = 0，解得 t₁ = -4，t₂ = 1。
代回求解：
- 当 t = -4：x² + 3x - 4 = -4 => x² + 3x = 0 => x(x + 3) = 0 => x₁ = 0，x₂ = -3。
- 当 t = 1：x² + 3x - 4 = 1 => x² + 3x - 5 = 0 => x = [-3 ± √29]/2。
原方程的解为 x = 0，x = -3，x = [-3 + √29]/2，x = [-3 - √29]/2。

对于分子分母含相同复杂代数式的分式,或可分离部分的分式，换元能有效简化。

例题3： 求函数 f(x) = (x² - 4x + 5) / (x² - 4x + 6) 的值域。 ◆ 解题步骤：

观察分母：x² - 4x + 6 = (x - 2)² + 2 > 0，恒成立。
统一代数式：分子分母均含 x² - 4x。
设元转化： 令 t = x² - 4x，则 f(x) = (t + 5) / (t + 6)。
分离变量：f(x) = (t + 6 - 1) / (t + 6) = 1 - 1/(t + 6)。
分析范围：t = x² - 4x = (x - 2)² - 4 ≥ -4。
- 当 t ≥ -4 时，t + 6 ≥ 2 > 0。
- 故 1/(t + 6) > 0 且 1/(t + 6) ≤ 1/2（当 t = -4 时取等）。
求值域：f(x) = 1 - 1/(t + 6)。
- 当 t = -4 时，f(x) = 1 - 1/2 = 1/2。
- 当 t → +∞ 时，1/(t + 6) → 0，f(x) → 1。函数值域为 [1/2, 1)。