高中数学中的和差化公式有哪些？

和差化公式详解与应用

在三角函数的学习中，和差化公式是连接角度和、差与单角三角函数的关键桥梁，对化简表达式、证明恒等式、解三角形等问题至关重要，掌握它们,解题思路将豁然开朗。

核心公式一览

以下是最常用、必须熟练掌握的四组和差化公式：

公式特点与记忆要点

• 正弦公式： 展开为“正余余正”，符号与角度运算一致（加用+，减用-）。
• 余弦公式： 展开为“余余正正”，符号与角度运算相反（加用-，减用+）。
• 正切公式： 分子与角度运算同号（加用+，减用-），分母为 1 ∓ tanα tanβ（注意符号与分子相反）。

实战应用示例

1. 求具体值：

   • 计算 sin75°。
     sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°
     = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4

2. 化简表达式：
   化简 cos(x + 60°)cos(x - 60°)。
   原式 = [cos(x + 60° + x - 60°) + cos(x + 60° - (x - 60°))] / 2 （利用积化和差，或余弦和差展开相乘）
   = [cos(2x) + cos(120°)] / 2 = [cos(2x) - 1/2] / 2 = (1/2)cos(2x) - 1/4

3. 证明恒等式：
   证明 sin(α + β)sin(α - β) = sin²α - sin²β。
   左边 = [sinα cosβ + cosα sinβ][sinα cosβ - cosα sinβ]
   = (sinα cosβ)² - (cosα sinβ)²
   = sin²α cos²β - cos²α sin²β
   = sin²α (1 - sin²β) - (1 - sin²α) sin²β
   = sin²α - sin²α sin²β - sin²β + sin²α sin²β
   = sin²α - sin²β = 右边

重要注意事项

• 角度单位统一： 确保公式中的角度 α、β 单位一致（通常为度或弧度）。
• 正切公式限制： 当 α + β 或 α - β 等于 90° + k·180°（k 为整数）时，tan(α ± β) 无定义,公式分母也不能为零。
• 与诱导公式关联： 和差化公式是推导诱导公式（如 sin(90°-α)=cosα）的基础。
• 逆向应用： 公式不仅用于展开,也常需逆用进行合并化简。

学习建议 死记硬背容易混淆，理解推导过程（可在单位圆或平面向量背景下）能有效加深记忆，多练习不同类型题目，体会公式在化简、求值、证明中的灵活运用,解题能力将显著提升。

个人观点 作为长期指导学生的教师，深刻体会到和差化公式是三角模块的“枢纽”，它们不仅本身重要，更是后续学习二倍角、半角、积化和差等公式的基石，真正吃透这组公式，三角函数的大门才算真正打开，务必在理解的基础上熟练运用,解题时才能得心应手。