1、立体几何内切球与外接球模型
定义
球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
性质
- 过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等。
- 经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆。
- 过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面。
- 在同球中，过两相交圆的圆心垂直于相应圆面的直线相交，交点是球心。
2、函数模型
一次函数模型：形如 \( y = kx + b \)，\( k \) 为斜率，\( b \) 为截距。
二次函数模型：形如 \( y = ax^2 + bx + c \)，\( a \)、\( b \)、\( c \) 为常数。
反比例函数模型：形如 \( y = \frac{k}{x} \)，\( k \) 为常数。
指数函数模型：形如 \( y = a^x \)，\( a > 0 \) 且 \( a
eq 1 \)。
对数函数模型：形如 \( y = \log_a x \)，\( a > 0 \) 且 \( a
eq 1 \)。
三角函数模型：包括正弦函数 \( y = \sin x \)、余弦函数 \( y = \cos x \)、正切函数 \( y = \tan x \) 等。
幂函数模型：形如 \( y = x^n \)，\( n \) 为实数。
分段函数模型：根据不同区间定义不同的函数表达式。
3、解析几何模型
直线方程模型：包括一般式 \( Ax + By + C = 0 \)、斜截式 \( y = kx + b \)、点斜式 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 等。
圆的方程模型：标准方程 \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)，\( (a, b) \) 为圆心坐标，\( r \) 为半径。
椭圆方程模型：标准方程 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，\( a > b > 0 \)。
双曲线方程模型：标准方程 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，\( a > 0, b > 0 \)。
抛物线方程模型：标准方程 \( y^2 = 2px \) 或 \( x^2 = 2py \)，\( p > 0 \)。
4、概率统计模型
古典概型模型：基本事件个数有限且每个事件发生的可能性相等。
几何概型模型：基本事件个数无限且每个事件发生的可能性与区间长度成正比。
二项分布模型：在 \( n \) 次独立重复试验中，事件 \( A \) 发生 \( k \) 次的概率。
条件概率模型：事件 \( A \) 在事件 \( B \) 发生的条件下发生的概率。
随机变量的数字特征模型：包括均值、方差、标准差等。
正态分布模型：随机变量服从正态分布的概率密度函数为 \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)，\( \mu \) 为均值，\( \sigma \) 为标准差。
5、数列模型
等差数列模型：通项公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，前 \( n \) 项和公式 \( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \)。
等比数列模型：通项公式 \( a_n = a_1 q^{n-1} \)，前 \( n \) 项和公式 \( S_n = \begin{cases}
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & (\text{if } q
eq 1) \
a_1n & (\text{if } q = 1)
\end{cases} \)。
递归数列模型：通过递推关系定义的数列，如斐波那契数列。
6、向量模型
平面向量模型：包括向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等运算。
空间向量模型：包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积、混合积等运算。
向量的线性运算模型：多个向量的线性组合。
向量的应用模型：如向量在物理中的应用（力的分解与合成）。
7、不等式模型
一元一次不等式模型：形如 \( ax + b > c \) 或 \( ax + b < c \)。
一元二次不等式模型：形如 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 或 \( ax^2 + bx + c < 0 \)。
线性不等式组模型：多个线性不等式的联立求解。
基本不等式模型：如均值不等式 \( \frac{a+b}{2}
ge \sqrt{ab} \)（当且仅当 \( a = b \) 时取等号）。
8、导数及其应用模型
导数的定义模型：函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处的导数定义为 \( f'(x_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h} \)。
导数的运算法则模型：包括四则运算法则、复合函数求导法则等。
导数的应用模型：如求函数的单调性、极值、最值等问题。
高阶导数模型：函数的高阶导数及其应用。
这些模型不仅涵盖了高中数学的主要知识点，还提供了丰富的解题思路和方法，掌握这些模型有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
