高中数学中的零点问题涉及多个方面，包括函数零点的存在性、零点个数的确定以及利用零点求解参数范围等，以下是一些常见的题目类型和解答方法：
一、选择题
1、已知函数f(x)在区间[a, b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a, b]上的解的情况是()
- A. 至少有一实根
- B. 至多有一实根
- C. 没有实根
- D. 必有唯一的实根
答案：A
解析：根据函数零点存在定理，如果函数在区间[a, b]上连续且f(a)f(b)<0，那么函数在该区间内至少有一个零点。
2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：
- x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
- f(x) | 123.56 | 21.45 | -7.82 | 11.57 | -53.76 | -126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()
- A. 2个
- B. 3个
- C. 4个
- D. 5个
答案：B
解析：通过观察表格，可以看到f(x)的值在x=2和x=4附近变号，因此至少有两个零点。
3、对于函数f(x)=x²+mx+n，若f(a)>0，f(b)>0，则f(x)在(a, b)上()
- A. 一定有零点
- B. 可能有两个零点
- C. 一定有没有零点
- D. 至少有一个零点
答案：C
解析：根据函数零点存在定理的逆否命题，如果f(a)>0且f(b)>0，则不能保证在区间(a, b)内有零点。
4、下列函数中，在[1,2]上有零点的是()
- A. f(x)=3x²-4x+5
- B. f(x)=x³-5x-5
- C. f(x)=lnx-3x+6
- D. f(x)=ex+3x-6
答案：C
解析：通过计算判别式或观察图像，可以判断C选项中的函数在[1,2]上有零点。
二、填空题
1、已知函数f(x)=x³-3x²+ax在区间[0,1]上恰有一个零点，则a的取值范围是()
答案：[2,3)
解析：首先求出f(x)在区间[0,1]上的导数，然后分析函数的单调性和极值点，最后结合零点存在定理确定a的取值范围。
2、已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的零点个数是()
答案：0
解析：由于绝对值函数的性质，f(x)在实数范围内恒大于零，因此没有零点。
三、解答题
1、已知函数f(x)=x³-3x+2，求f(x)的零点个数及所在区间。
答案：2个零点，分别在区间(-∞, -1)和(1, ∞)内。
解析：首先求出f(x)的导数f'(x)=3x²-3，然后分析函数的单调性和极值点，通过计算发现f(-1)>f(0)>f(1)，且f(-∞)<0，f(∞)>0，因此根据零点存在定理，f(x)在区间(-∞, -1)和(1, ∞)内各有一个零点。
2、已知函数f(x)=eˣ-2x-1，证明f(x)在区间[0,1]内有零点。
答案：证明略（使用零点存在定理）。
解析：首先验证f(x)在区间[0,1]上连续，然后计算f(0)和f(1)的值，发现f(0)<0且f(1)>0，根据零点存在定理，f(x)在区间[0,1]内至少有一个零点。
函数零点问题是高中数学中的一个重要考点，涉及函数的性质、图像、导数等多个方面，通过掌握零点存在定理及其应用，可以有效地解决相关题目，在实际解题过程中，应结合函数的具体形式和性质，灵活运用数形结合、导数等工具，提高解题效率和准确性。
