初中数学中如何证切线，初中数学中，如何证明一条直线是圆的切线？

在初中数学中，证明圆的切线是一个重要的几何问题，下面将详细介绍几种常见的方法来证明一条直线是圆的切线，并通过例题和表格进行说明：

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1、连半径证垂直法

定义与原理：如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明这条直线垂直于半径即可，这是因为圆的切线垂直于经过切点的半径。

具体步骤

- 确定直线与圆的公共点。

- 连接圆心与该公共点，形成半径。

- 证明直线与半径垂直。

实例分析

- 例题1：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F，求证：EF与⊙O相切。

- 解：连接OB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=30°，∴BC=2/1AB=OB，又BD=OB，∴BC=2/1OD，∴∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线。

2、作垂直证半径法

定义与原理：当直线与圆的公共点不明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，这是因为圆心到切线的距离等于圆的半径。

具体步骤

- 过圆心作直线的垂线。

- 证明垂线段的长度等于圆的半径。

实例分析

- 例题2：如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切。

- 解：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，证明DE=DF即可，由角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE=DF，因此OB与⊙D相切。

3、利用勾股定理逆定理

定义与原理：如果已知条件中给出了线段的长度信息，可以通过计算相关线段长度的平方关系，来证明半径与直线垂直。

具体步骤

- 根据题目给出的线段长度信息，列出勾股定理的等式。

- 通过计算验证等式成立，从而证明垂直关系。

实例分析

- 例题3：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。

- 解：连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP=PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA=BD，∴∠A=∠D。

4、利用特殊角计算证垂直

定义与原理：当图形中存在特殊角度，如30°、60°、45°等特殊角及其相关的角度关系时，可以通过角度的计算和性质来证明半径与直线垂直。

具体步骤

- 识别图形中的特殊角度。

- 利用特殊角度的性质进行计算。

- 证明垂直关系。

实例分析

- 例题4：如图，已知AB为⊙O的直径，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。

- 解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=30°，∴BC=1/2AB=OB，又BD=OB，∴BC=1/2OD，∴∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线。

5、利用等角代换证垂直

定义与原理：通过证明与半径相关的角和已知的直角或其他垂直关系的角相等，从而得出半径与直线垂直。

具体步骤

- 找出与半径相关的角。

- 证明这些角与已知的直角或垂直关系的角相等。

- 得出垂直关系。

实例分析

- 例题5：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。

- 解：连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP=PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA=BD，∴∠A=∠D。

6、利用平行线性质证垂直

定义与原理：如果存在与要证的切线垂直的直线，那么证明半径与这条直线平行，即可证明直线是圆的切线。

具体步骤

- 找出与要证的切线垂直的直线。

- 证明半径与这条直线平行。

- 得出切线的结论。

实例分析

- 例题6：如图，已知平面直角坐标系内三点(3,0), (5,0), (0,4) A B C，P经过点A B C，则点P的坐标为。

- 解：根据平行线的性质和坐标计算，可以得出点P的坐标。

7、利用三角形全等或相似证垂直

定义与原理：构造与切线相关的三角形，通过证明这些三角形与含90°角的三角形全等或相似，得出半径与直线垂直的关系。

具体步骤

- 构造相关的三角形。

- 通过全等或相似证明垂直关系。

实例分析

- 例题7：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。

- 解：连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP=PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA=BD，∴∠A=∠D。

8、利用等腰三角形“三线合一”证垂直

定义与原理：当半径与直线的交点是等腰三角形的底边中点时，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，证明半径与直线垂直。

具体步骤

- 识别等腰三角形。

- 利用“三线合一”性质证明垂直。

实例分析

- 例题8：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。

- 解：连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP=PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA=BD，∴∠A=∠D。

以下是关于上述方法的汇总表格：

方法名称	定义与原理	具体步骤	实例分析
连半径证垂直法	如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明这条直线垂直于半径即可。	1. 确定直线与圆的公共点。 2. 连接圆心与该公共点，形成半径。 3. 证明直线与半径垂直。	例题1：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F，求证：EF与⊙O相切。
作垂直证半径法	当直线与圆的公共点不明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。	1. 过圆心作直线的垂线。 2. 证明垂线段的长度等于圆的半径。	例题2：如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切。
利用勾股定理逆定理	如果已知条件中给出了线段的长度信息，可以通过计算相关线段长度的平方关系，来证明半径与直线垂直。	1. 根据题目给出的线段长度信息，列出勾股定理的等式。 2. 通过计算验证等式成立，从而证明垂直关系。	例题3：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。
利用特殊角计算证垂直	当图形中存在特殊角度，如30°、60°、45°等特殊角及其相关的角度关系时，可以通过角度的计算和性质来证明半径与直线垂直。	1. 识别图形中的特殊角度。 2. 利用特殊角度的性质进行计算。 3. 证明垂直关系。	例题4：如图，已知AB为⊙O的直径，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。
利用等角代换证垂直	通过证明与半径相关的角和已知的直角或其他垂直关系的角相等，从而得出半径与直线垂直。	1. 找出与半径相关的角。 2. 证明这些角与已知的直角或垂直关系的角相等。 3. 得出垂直关系。	例题5：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。
利用平行线性质证垂直	如果存在与要证的切线垂直的直线，那么证明半径与这条直线平行，即可证明直线是圆的切线。	1. 找出与要证的切线垂直的直线。 2. 证明半径与这条直线平行。 3. 得出切线的结论。	例题6：如图，已知平面直角坐标系内三点(3,0), (5,0), (0,4) A B C，P经过点A B C，则点P的坐标为。
利用三角形全等或相似证垂直	构造与切线相关的三角形，通过证明这些三角形与含90°角的三角形全等或相似，得出半径与直线垂直的关系。	1. 构造相关的三角形。 2. 通过全等或相似证明垂直关系。	例题7：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。
利用等腰三角形“三线合一”证垂直	当半径与直线的交点是等腰三角形的底边中点时，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，证明半径与直线垂直。	1. 识别等腰三角形。 2. 利用“三线合一”性质证明垂直。	例题8：如图，已知AB为⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC，求证：∠A=∠D。