在高中数学竞赛中，题目类型丰富多样，涵盖了代数、几何、数论、组合数学等多个领域，以下是一些典型的题目类型及其示例：
| 类别 | 题目描述 |
| 函数与方程 | 已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$，求 $f(x)$ 的极值点。 |
| 解方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的所有实根。 | |
| 判断函数 $g(x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性。 | |
| 解析几何 | 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，$a > b > 0$，求椭圆的焦点坐标。 |
| 求圆 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 的切线方程，已知切点坐标为 $(m, n)$。 | |
| 证明点 $P(x_1, y_1)$ 和点 $Q(x_2, y_2)$ 的连线 $PQ$ 的中点坐标为 $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$。 | |
| 数列与级数 | 已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 2$，求第10项 $a_{10}$。 |
| 求等比数列 $b_1, b_2, b_3, \ldots$ 的前 $n$ 项和，$b_1 = 1$，公比 $r = 3$。 | |
| 判断数列 $c_n = \frac{1}{n(n + 1)}$ 的收敛性。 | |
| 概率与统计 | 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。 |
| 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。 | |
| 组合数学 | 有 $n$ 个人围成一圈，任意相邻两人之间握手一次，求总共握了多少次手。 |
| 在一个 $n \times n$ 的棋盘上，从左下角到右上角有多少条不同的路径可以走（只能向右或向上移动）。 | |
| 数论问题 | 证明对于任意整数 $n$，都有 $n^3 + 2n$ 是偶数。 |
| 求出所有满足条件 $a^2 + b^2 = c^2$（$a, b, c$ 均为正整数）的勾股数对 $(a, b, c)$。 | |
| 不等式证明 | 证明对于任意实数 $x$，都有 $e^x \geq x + 1$。 |
| 设 $f(x) = x - \sin(x)$，证明对于任意实数 $x$，都有 $f(x) \geq 0$。 |
上述表格展示了高中数学竞赛中的部分典型题目类型及具体题目实例，这些题目不仅要求选手具备扎实的数学基础知识，还需要他们具备灵活运用知识解决问题的能力以及一定的创新思维能力，通过不断练习这些题目，选手可以逐步提高自己的数学素养和解题能力。
