初中数学中，作垂线是一个重要的几何概念，涉及点到直线的距离、垂直关系的判定等多个方面，以下是关于如何作垂线题目的详细解答，包括知识点回顾、典型题目解析及答案示例。
一、知识点回顾
1、点到直线的距离：在平面直角坐标系中，点到直线的距离可以通过计算得到，对于直线方程$y=kx+b$和点$(x_0, y_0)$，点到直线的距离公式为$d=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$。
2、垂线的性质：
- 一条直线有且只有一条垂线。
- 过一点向一条射线或线段所在直线作垂线是不可能的。
- 若$a\perp b$且$b\perp c$，则$a\perp c$（传递性）。
- 互为邻补角的两个角的均分线必定相互垂直。
3、特殊图形中的垂线：在直角三角形中，斜边上的高（即垂足）将斜边分为两部分，这两部分与直角边形成相似三角形，从而可以求出高的长度。
二、典型题目解析
题目1：选择题
在平面直角坐标系中，过点A(2,3)且垂直于直线y=2x的直线方程是（ ）。
答案：B. y=-1/2x+4
解析：由于所求直线与直线y=2x垂直，因此它们的斜率乘积为-1，已知直线y=2x的斜率为2，所以所求直线的斜率为-1/2，又因为所求直线过点A(2,3)，代入点斜式方程y-y_0=k(x-x_0)得3-3=-1/2(2-2)，解得k=-1/2，所求直线方程为y=-1/2x+4。
题目2：填空题
在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是斜边，AC=6，BC=8，则高CD的长度为_______。
答案：7.5
解析：根据勾股定理，AB=√(AC^2+BC^2)=√(62)=10，由于CD是直角三角形ABC的高，ACD和△BCD都是直角三角形，设CD=h，则有AD=AC^2-h^2=36-h^2和BD=BC^2-h^2=64-h^2，又因为AD+BD=AB，即(36-h^2)+(64-h^2)=100，解得h=7.5，所以高CD的长度为7.5。
题目3：解答题
已知直线l1: y=2x+1和直线l2: y=-1/2x+3，求这两条直线的交点坐标。
解析：将两条直线的方程联立求解即可。
$$
\begin{cases}
y = 2x + 1 \\
y = -\frac{1}{2}x + 3
\end{cases}
$$
将第一个方程代入第二个方程得：
$$
2x + 1 = -\frac{1}{2}x + 3
$$
解得：
$$
x = \frac{2}{5}
$$
将x代入任一直线方程求得y：
$$
y = 2 \times \frac{2}{5} + 1 = \frac{9}{5}
$$
所以交点坐标为：
$$
\left(\frac{2}{5}, \frac{9}{5}\right)
$$
通过以上题目的解析可以看出，作垂线题目主要涉及以下几个步骤：
1、理解题意：明确题目要求作垂线的条件和目标。
2、运用性质：根据垂线的性质和相关定理进行推理和计算。
3、灵活应用：对于不同类型的题目（如选择题、填空题、解答题），采用不同的解题策略和方法。
4、注意细节：在计算过程中注意单位转换、符号变化等细节问题。
还可以通过以下表格对常见垂线题目类型及解题思路进行归纳总结：
| 题目类型 | 解题思路 | 注意事项 |
| 选择题 | 根据垂线性质和定理进行判断；利用几何关系进行推理；必要时进行计算验证 | 注意选项间的干扰项；确保推理过程完整无误 |
| 填空题 | 根据题目条件进行几何构造；利用垂线性质和定理进行计算；注意结果的准确性 | 注意单位的一致性；避免计算错误 |
| 解答题 | 明确题目要求；进行几何构造和推理；必要时进行辅助线的添加；最后进行计算并给出结论 | 注意解题步骤的完整性；确保推理过程清晰明了；注意结果的准确性和合理性 |
希望以上内容能对你理解和解决初中数学中的作垂线题目有所帮助，如有更多疑问或需要进一步的解释说明，请随时提问。
发表评论