什么是极值
在初中数学中，极值是指函数在某一点处取得的最大值或最小值，求极值是研究函数性质的重要方法之一,对于解决实际问题具有重要意义。
求极值的基本步骤
求导数
我们需要对函数进行求导，求导数可以帮助我们找到函数的增减性,从而确定极值点。
求导数的零点
求导数的零点，即求函数的一阶导数等于0的点，这些点可能是极值点,也可能是拐点。
求二阶导数
对一阶导数求导，得到二阶导数,二阶导数可以帮助我们判断极值点的性质。
判断极值点
根据二阶导数的正负,判断极值点的性质：
- 如果二阶导数大于0,则该点为极小值点；
- 如果二阶导数小于0,则该点为极大值点；
- 如果二阶导数等于0，则该点可能为极值点,也可能为拐点。
计算极值
将极值点代入原函数,得到极值。
实例分析
以下是一个求极值的实例：
例：求函数f(x) = x^3 3x^2 + 4x在区间[1, 3]上的极值。
求导数
f'(x) = 3x^2 6x + 4
求导数的零点
令f'(x) = 0,得：
3x^2 6x + 4 = 0
解得：x1 = 1，x2 = 2/3
求二阶导数
f''(x) = 6x 6
判断极值点
当x = 1时，f''(1) = 0，无法确定极值点性质； 当x = 2/3时，f''(2/3) = 0,无法确定极值点性质。
计算极值
将x1 = 1代入原函数，得f(1) = 2； 将x2 = 2/3代入原函数，得f(2/3) = 4/27。
函数f(x) = x^3 3x^2 + 4x在区间[1, 3]上的极小值为2，极大值为4/27。
求极值是初中数学中的重要内容，掌握求极值的基本步骤和技巧对于解决实际问题具有重要意义，通过实例分析,我们可以更好地理解求极值的方法和过程。
FAQs：
为什么要在求极值前先求导数？
答：求导数可以帮助我们找到函数的增减性，从而确定极值点，导数大于0表示函数在该点处递增,导数小于0表示函数在该点处递减。
如何判断极值点的性质？
答：通过求二阶导数，我们可以判断极值点的性质，如果二阶导数大于0，则该点为极小值点；如果二阶导数小于0，则该点为极大值点，如果二阶导数等于0，则该点可能为极值点,也可能为拐点。
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