| 方法 | 具体操作 | 示例 | ||||
| 配方法 | 对于二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)），当\(a>0\)时，在对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(y_{min} = \frac{4ac - b^2}{4a}\)；当\(a<0\)时，在对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(y_{max} = \frac{4ac - b^2}{4a}\)。 | 求二次函数\(y = 2x^2 - 8x + 3\)的最值。 解：这里\(a = 2\)，\(b = -8\)，\(c = 3\)，因为\(a>0\)，所以有最小值，对称轴\(x = -\frac{-8}{2×2} = 2\)，将\(x = 2\)代入原函数可得\(y_{min} = 2×2^2 - 8×2 + 3 = -5\)。 | ||||
| 运用一次函数性质 | 对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k≠0\)），当\(k>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(k<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。 | 已知一次函数\(y = -3x + 4\)，求当\(x\)取何值时，\(y\)有最大值，并求出最大值。 解：因为\(k = -3<0\)，(y\)随\(x\)的增大而减小，要使\(y\)有最大值，\(x\)应取其取值范围内的最小值，若没有给定\(x\)的取值范围，从函数本身无法确定最大值和对应的\(x\)值，假设\(x\)的取值范围是\(x≤1\)，则当\(x = 1\)时，\(y\)有最大值，最大值为\(y = -3×1 + 4 = 1\)。 | ||||
| 运用二次函数性质 | 除了上述配方法中提到的二次函数最值情况外，还可以根据二次函数图象的开口方向、对称轴与所给区间的关系来判断最值。 | 求二次函数\(y = -x^2 + 4x - 3\)在区间\([0, 3]\)上的最值。 解：因为\(a = -1<0\)，抛物线开口向下，对称轴为\(x = -\frac{4}{2×-1} = 2\)，在区间\([0, 3]\)上，当\(x = 2\)时，\(y\)有最大值，最大值为\(y = -2^2 + 4×2 - 3 = 1\)；当\(x = 0\)或\(x = 3\)时，分别计算\(y = -3\)和\(y = 0\)，所以最小值为\(y = -3\)。 | ||||
| 利用几何模型 | 如将军饮马最值模型、胡不归最值模型、阿氏圆最值模型、瓜豆最值模型等。 将军饮马基本型（和最小）：直线外一点到直线上一点的最短距离问题是通过作该点关于直线的对称点，连接对称点与直线上任意一点，其中垂线段最短。 | 如图，正方形\(ABCD\)的边长为\(2\)，点\(E\)是边\(AB\)的中点，点\(P\)是对角线\(AC\)上的一个动点，求\(PE + PB\)的最小值。 解：作点\(B\)关于直线\(AC\)的对称点\(B'\)，连接\(B'E\)，交\(AC\)于点\(P\)，(PE + PB = PE + PB' = B'E\)，根据两点之间线段最短可知此时\(PE + PB\)最小，再根据正方形的性质计算出\(B'E\)的长度即可。 | ||||
| 分类讨论思想 | 根据题目中的不同条件或变量的取值范围进行分类，分别求解每种情况下的最值，然后比较得出最终的最值。 | 已知函数\(y = x^2 - 2ax + 3\)，求当\(x\in[-1, 2]\)时，函数的最小值。 解：首先求出函数的对称轴为\(x = a\)，分三种情况讨论： ①当\(a< -1\)时，函数在区间\([-1, 2]\)上单调递增，最小值在\(x = -1\)处取得，最小值为\(y = (-1)^2 - 2a×(-1) + 3 = 4 + 2a\)。 ②当\(-1≤a≤2\)时，函数在区间\([-1, a]\)上单调递减，在区间\([a, 2]\)上单调递增，最小值在顶点处取得，即最小值为\(y = a^2 - 2a×a + 3 = 3 - a^2\)。 ③当\(a>2\)时，函数在区间\([-1, 2]\)上单调递减，最小值在\(x = 2\)处取得，最小值为\(y = 2^2 - 2a×2 + 3 = 7 - 4a\)。 | ||||
| 数形结合思想 | 通过画出函数图象或几何图形，直观地观察和分析最值的情况。 | 求函数\(y = | x - 1 | + | x - 2 | \)的最小值。 解：可以画出函数的图象，它是两条射线组成的折线，当\(x<1\)时，函数是一条斜率为\(-1\)的射线；当\(1≤x≤2\)时，函数是一条水平线段，且值为\(1\)；当\(x>2\)时，函数是一条斜率为\(1\)的射线，从图象中可以直观地看出，函数的最小值为\(1\)。 |
| 转化思想 | 将复杂的最值问题转化为简单的、熟悉的问题来求解，比如将几何最值问题转化为代数问题，或者将条件进行适当变形等。 | 已知实数\(x, y\)满足\(x^2 + y^2 = 1\)，求\(x + y\)的最大值。 解：可以通过三角换元，令\(x = \cosθ, y = \sinθ, θ∈[0, 2π)\)，则\(x + y = \cosθ + \sinθ = \sqrt{2}\sin(θ + \frac{π}{4})\)，当\(\sin(θ + \frac{π}{4}) = 1\)时，\(x + y\)取得最大值\(\sqrt{2}\)。 |
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