总体标准差
明确数据集：收集代表总体的所有数据点，记为\(X_1, X_2, \cdots, X_N\)，数据总数为\(N\)。
计算总体均值：使用公式\(\mu = \frac{\sum_{i = 1}^{N} X_i}{N}\)计算均值。
计算每个数据点的偏差：对数据集中每个数据点\(X_i\)，计算其与均值\(\mu\)的偏差，即\(X_i - \mu\)。
将偏差平方：对每个偏差值求平方，避免负值的影响，得到\((X_i - \mu)^2\)。
计算偏差平方的均值：求所有偏差平方的总和，然后除以数据总数\(N\)，得到方差\(\sigma^2=\frac{\sum_{i = 1}^{N}(X_i - \mu)^2}{N}\)。
取算术平方根：对结果开平方，得到总体标准差\(\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}(X_i - \mu)^2}{N}}\)。
样本标准差
明确样本数据集：收集样本数据点，记为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，样本数量为\(n\)。
计算样本均值：使用公式\(\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_i}{n}\)计算样本均值。
计算每个样本点的偏差：对数据集中每个样本点\(x_i\)，计算其与样本均值\(\bar{x}\)的偏差，即\(x_i - \bar{x}\)。
将偏差平方：对每个偏差值求平方，得到\((x_i - \bar{x})^2\)。
计算修正后的偏差平方均值：将所有偏差平方相加后，除以\(n - 1\)，得到方差\(S^2=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}\)。
取算术平方根：对结果开平方，得到样本标准差\(S = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}\)。
举例说明
例1：已知一组数据为3、5、7、9、11，计算其标准差。
计算平均数：\(\bar{x} = (3 + 5 + 7 + 9 + 11)÷ 5 = 7\)。
计算方差：\(S^2 = [(3 - 7)^2 + (5 - 7)^2 + (7 - 7)^2 + (9 - 7)^2 + (11 - 7)^2] ÷ (5 - 1) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) ÷ 4 = 10\)。
计算标准差：\(S = \sqrt{10} ≈ 3.16\)。
例2：某班级学生的体重（单位：千克）如下：35、40、38、42、36，计算这组数据的方差和标准差。
计算平均数：\(\bar{x} = (35 + 40 + 38 + 42 + 36)÷ 5 = 37.8\)。
计算方差：\(S^2 = [(35 - 37.8)^2 + (40 - 37.8)^2 + (38 - 37.8)^2 + (42 - 37.8)^2 + (36 - 37.8)^2] ÷ (5 - 1) = (8.64 + 4.84 + 0.04 + 17.64 + 3.24) ÷ 4 = 7.9\)。
计算标准差：\(S = \sqrt{7.9} ≈ 2.81\)。
