一、方程与不等式
1、一元一次方程
解题步骤：去分母（方程两边同时乘以分母的最小公倍数）、去括号（按照分配律展开）、移项（将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边）、合并同类项（把未知数的系数相加或相减）、系数化为1（等号两边同时除以未知数的系数）。
示例：解方程\(2x+3=5x-6\)，先移项得到\(2x-5x=-6-3\)，合并同类项得\(-3x=-9\)，系数化为1得\(x = 3\)。
2、二元一次方程组
代入消元法：先将其中一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求出另一个未知数的值。
加减消元法：当两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值，进而求出另一个未知数的值。
示例：解方程组\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4\end{cases}\)，用加减消元法，将第一个方程两边乘以3，得到\(\begin{cases}3x + 6y = 15 \\ 3x - y = 4\end{cases}\)，两方程相减得\(7y = 11\)，解得\(y = \frac{11}{7}\)，把\(y = \frac{11}{7}\)代入第一个方程可得\(x = \frac{19}{7}\)。
3、三元一次方程组
解题思路：通过消元法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解，一般先消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组，再按照二元一次方程组的解法求解。
示例：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 10 \\ 3x + 2y - z = 4\end{cases}\)，先用第一个方程加第二个方程消去\(y\)得到\(3x + 4z = 16\)，再用第一个方程乘以2加第三个方程消去\(y\)得到\(5x + z = 16\)，组成新的方程组\(\begin{cases}3x + 4z = 16 \\ 5x + z = 16\end{cases}\)，按照二元一次方程组的解法求出\(x\)和\(z\)的值，再代回原方程组求出\(y\)的值。
4、一元二次方程
直接开平方法：对于形如\(ax^2 = c\)（\(a≠0\)，\(c≥0\)）的方程，两边同时除以\(a\)，再开平方求解；对于形如\((x + a)^2 = b\)（\(b≥0\)）的方程，直接开平方求解。
配方法：将一元二次方程配成\((x + m)^2 = n\)的形式，再利用直接开平方法求解。
公式法：对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a≠0\)），当\(b^2 - 4ac ≥ 0\)时，可使用求根公式\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)求解。
因式分解法：将一元二次方程左边的多项式因式分解，转化为两个一元一次方程求解。
示例：解方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)，因式分解得\((x - 1)(x - 3) = 0\)，(x - 1 = 0\)或\(x - 3 = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 3\)。
5、分式方程
解题步骤：去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解，然后检验这个解是否满足原分式方程（因为去分母可能产生增根）。
示例：解方程\(\frac{2}{x}+\frac{x}{x-3}=1\)，最简公分母是\(x(x-3)\)，去分母得\(2(x-3)+x^2 = x(x-3)\)，整理得\(2x = 6\)，解得\(x = 3\)，但检验发现\(x = 3\)是增根，所以原分式方程无解。
二、函数
1、一次函数
解析式求解：已知直线经过两点，可设一次函数解析式为\(y = kx + b\)（\(k≠0\)），将两点坐标代入解析式得到关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组，求解即可确定解析式，若已知直线平行于另一条直线，则斜率相同，可据此设出解析式再求解。
图像性质：一次函数\(y = kx + b\)（\(k≠0\)）中，当\(k>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(k<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小，与\(y\)轴的交点为\((0,b)\)。
应用问题：可用于解决行程问题、销售利润问题等实际问题，根据路程 = 速度×时间建立一次函数关系式求解相遇时间或追及时间等。
2、反比例函数
解析式求解：已知反比例函数图象经过一点，可设反比例函数解析式为\(y = \frac{k}{x}\)（\(k≠0\)），将该点坐标代入解析式求出\(k\)的值，即可确定解析式。
图像性质：反比例函数\(y = \frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）中，当\(k>0\)时，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k<0\)时，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大，其图象是双曲线，与坐标轴没有交点。
应用问题：可用于解决物理学中的压强与受力面积问题、化学中的溶质质量分数与溶液质量的关系等。
三、几何图形
1、三角形
全等三角形判定：有SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角、斜边、直角边）五种判定定理，证明三角形全等时，需根据已知条件选择合适的判定定理进行证明。
相似三角形判定：有AAA（角角角）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、AAS（两角对应相等且夹边对应成比例）三种判定定理，利用相似三角形的性质可以解决一些实际问题，如测量不可直接到达的距离等。
勾股定理及其逆定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即\(a^2 + b^2 = c^2\)（(c\)为斜边），勾股定理的逆定理是如果三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，可用于判断一个三角形是否为直角三角形以及计算直角三角形的边长等。
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，可用于求三角形中未知角的度数以及证明与三角形内角相关的几何结论。
2、四边形
平行四边形性质与判定：性质包括对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等；判定定理有两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等，可通过这些性质和判定定理进行相关的证明和计算。
矩形性质与判定：性质有四个角都是直角、对边相等、对角线相等且互相平分等；判定定理有有一个角是直角的平行四边形、有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形都是矩形，常用于解决与矩形相关的几何问题。
菱形性质与判定：性质有四条边都相等、对角相等、对角线互相垂直且平分等；判定定理有四条边都相等的四边形、邻边相等的平行四边形都是菱形，在一些几何图形的计算和证明中会用到菱形的性质和判定。
正方形性质与判定：具有矩形和菱形的所有性质；判定定理有有一个角是直角的菱形、有一组邻边相等的矩形都是正方形，正方形是一种比较特殊的四边形，在很多几何题目中都有涉及。
3、圆
垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，其推论包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧等，在解决与圆的弦、弧相关的问题时经常用到。
圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反之，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等，可用于证明圆中的角相等、弧相等以及线段相等等问题。
切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质是圆的切线垂直于过切点的半径，在解决与圆的切线相关的几何问题时是重要的依据。
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