函数类
抽象函数问题：已知函数 \(f(x)\) 满足 \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) 且 \(f(1) = 2\)，求 \(f(n)\) 的表达式，这类题目需要通过赋值法和归纳法，先求出 \(f(2)\)、\(f(3)\) 等的值，再推导出 \(f(n)\) 的一般形式，\(f(n) = 2n\)。
复合函数的最值问题：如 \(y = \sin(\cos x)\) 的最大值和最小值，需要先分析内层函数 \(\cos x\) 的取值范围是 \([-1, 1]\)，然后根据正弦函数在该区间上的单调性，求出 \(y\) 的最大值为 \(\sin 1\)，最小值为 \(\sin(-1) = -\sin 1\)。
数列类
数列通项公式的求解：给出一个复杂递推关系的数列，如 \(a_{n + 1} = a_n^2 - n a_n + 1\)，且 \(a_1 = 2\)，求 \(a_n\) 的通项公式，这可能需要通过构造法、迭代法等方法，尝试将递推关系进行变形或转化，以找到通项公式。
数列不等式的证明：例如证明对于数列 \(\{a_n\}\)，若 \(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = 2a_n + \frac{1}{n(n + 1)}\)，则 \(a_n < e\) 对任意 \(n \in N^*\) 成立，通常需要先放缩数列的通项公式，再利用数学归纳法或其他不等式证明方法来证明。
解析几何类
圆锥曲线中的定值问题：在椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 上，过焦点 \(F\) 的直线与椭圆交于 \(A\)、\(B\) 两点，求证 \(\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|}\) 为定值，这需要利用椭圆的定义、焦半径公式等知识，将距离转化为坐标表示，再进行化简计算。
解析几何中的最值问题：如求抛物线 \(y^2 = 4x\) 上的点到直线 \(x - y + 3 = 0\) 的最短距离，可以通过设抛物线上的点为 \((x, 2\sqrt{x})\) 或 \((x, -2\sqrt{x})\)，利用点到直线的距离公式表示出距离，再求函数的最值。
综合类
函数与数列结合的问题：已知函数 \(f(x) = x^2 - 2x + 3\)，数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = f(a_n)\)，求数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式，这类题目需要先分析函数的性质和数列的递推关系，找出它们之间的联系和规律。
解析几何与向量结合的问题：在平面直角坐标系中，已知点 \(A(1, 2)\)、\(B(3, 4)\) 和向量 \(\overrightarrow{a} = (1, 1)\)，若点 \(P\) 在直线 \(AB\) 上，且 \(\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{a} = 5\)，求点 \(P\) 的坐标，需要先求出直线 \(AB\) 的方程，再设出点 \(P\) 的坐标，利用向量的数量积公式建立方程求解。