1、函数综合难题
题目描述：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求函数在区间$[-2, 2]$上的最大值和最小值。
解题思路：首先求导数$f'(x)=3x^2-3$，令导数等于0得到驻点$x_1=-1$，$x_2=1$，然后计算函数在驻点和区间端点的值：$f(-2)=-1$，$f(-1)=3$，$f(1)=-1$，$f(2)=3$，比较这些值可得最大值为3，最小值为-1。
2、解析几何难题
题目描述：已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，求椭圆的标准方程。
解题思路：由离心率公式$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又因为$b^2=a^2-c^2$，b^2=a^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2=\frac{1}{4}a^2$，将点$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}a^2}=1$，解得$a^2=4$，则$b^2=1$，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。
3、数列与极限难题
题目描述：设数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}(n\in N^*)$，求数列$\{a_n\}$的通项公式和极限。
解题思路：对递推公式取倒数可得$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1$，所以数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为$\frac{1}{a_n}=n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n}$，当$n\to\infty$时，$a_n\to0$。
4、立体几何难题
题目描述：在三棱锥$S-ABC$中，$SA=SB=SC=a$，$\angle ASB=\angle BSC=\angle CSA=90^{\circ}$，求该三棱锥的外接球的半径。
解题思路：将三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线长就是外接球的直径，因为正方体的棱长为$a$，所以体对角线长为$\sqrt{3}a$，则外接球的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
5、排列组合难题
题目描述：用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，要求奇数数字相邻，偶数数字不相邻，求这样的五位数共有多少个。
解题思路：先将奇数数字1、3、5全排列有$A_3^3=6$种情况，然后将两个偶数数字2、4插入奇数数字形成的四个空位中有$A_4^2=12$种情况，所以这样的五位数共有$6\times12=72$个。