1、函数综合问题
例题：已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2 + (a - 1)x + 1\)，(a>0\)，若函数\(f(x)\)在区间\((1,4)\)上为减函数，在区间\((6, +\infty)\)上为增函数，求实数\(a\)的取值范围。
解析：首先求出函数\(f(x)\)的导数\(f^{\prime}(x)=x^2 - ax + a - 1\)，根据题意，方程\(f^{\prime}(x)=0\)在区间\((1,4)\)内有根，且在该区间外无根，通过分析二次函数的性质和根的分布情况，可得到关于\(a\)的不等式组，进而求解出\(a\)的取值范围。
2、不等式证明问题
例题：设\(a,b,c\)均为正实数，且\(a + b + c = 1\)，求证：\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9\)。
解析：可以利用基本不等式\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)进行证明，将\(a + b + c = 1\)代入不等式左边，经过适当的变形和放缩，如\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}=(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})(a + b + c)\geq 3+2\sqrt{\frac{a}{b}}+2\sqrt{\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}}+2\sqrt{\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}}\geq 9\)，从而证明原不等式成立。
3、数列通项与求和问题
例题：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = 2a_n + 1(n\in N^*)\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式及前\(n\)项和\(S_n\)。
解析：对于通项公式，可采用构造等比数列法，由\(a_{n + 1} = 2a_n + 1\)可得\(a_{n + 1} + 1 = 2(a_n + 1)\)，所以数列\(\{a_n + 1\}\)是首项为\(2\)，公比为\(2\)的等比数列，从而求出\(a_n + 1 = 2^n\)，即\(a_n = 2^n - 1\)，对于前\(n\)项和\(S_n\)，可采用分组求和法，\(S_n=(2^1 - 1)+(2^2 - 1)+\cdots+(2^n - 1)=(2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n)-n=2^{n + 1}-n - 2\)。
4、解析几何综合问题
例题：已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，右准线方程为\(x = 2\sqrt{2}\)，过点\(P(0, -1)\)的直线\(l\)与椭圆交于不同的两点\(A,B\)，且\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)（(O\)为坐标原点），求点\(M\)的轨迹方程。
解析：先根据离心率和准线方程求出椭圆方程，设直线\(l\)的方程为\(y = kx - 1\)，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点\(A,B\)坐标的关系，再根据向量关系求出点\(M\)的坐标，消去参数\(k\)即可得到点\(M\)的轨迹方程。
5、立体几何综合问题
例题：在三棱锥\(P - ABC\)中，底面\(\triangle ABC\)是边长为\(2\)的正三角形，平面\(PAC\perp\)平面\(ABC\)，且\(PA = PC = \sqrt{3}\)，求二面角\(P - BC - A\)的余弦值。
解析：取\(AC\)的中点\(D\)，连接\(PD,BD\)，因为\(PA = PC\)，(PD\perp AC\)，又平面\(PAC\perp\)平面\(ABC\)，(PD\perp\)平面\(ABC\)，以点\(D\)为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面\(PBC\)和平面\(ABC\)的法向量，利用法向量的夹角公式求出二面角的余弦值。
