| 序号 | 题型名称 | 题目示例 | 解题思路 |
| 1 | 向量比例系数问题 | 已知点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 在平面直角坐标系中的坐标，且 \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\)（\(k\) 为常数），求点 \(D\) 的坐标，使得 \(\overrightarrow{BD} = m\overrightarrow{BA}\)（\(m\) 为常数）。 | 利用向量的线性运算和共线向量定理，先根据已知条件表示出向量之间的关系，再通过向量的坐标运算求解点 \(D\) 的坐标，由 \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) 可得到坐标关系式，进而求出相关向量的坐标，再根据 \(\overrightarrow{BD} = m\overrightarrow{BA}\) 求出 \(\overrightarrow{BD}\) 的坐标，最后得到点 \(D\) 的坐标。 |
| 2 | 圆锥曲线中的定点问题（部分） | 椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a\gt b\gt0\)）的左焦点为 \(F\)，短轴的一个端点为 \(B\)，点 \(P\) 是椭圆上一动点，若直线 \(FP\) 与直线 \(x = a\) 交于点 \(Q\)，求证：\(\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BQ}\) 为定值。 | 设点 \(P\) 的坐标为 \((x_0, y_0)\)，根据椭圆方程可得 \(y_0^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x_0^2\)，写出直线 \(FP\) 的方程，令 \(x = a\) 求出点 \(Q\) 的坐标，然后计算向量 \(\overrightarrow{BF}\) 和 \(\overrightarrow{BQ}\) 的坐标，进而求出它们的点积，化简后可证明其为定值。 |
| 3 | 抛物线中的切线问题 | 过抛物线 \(y^2 = 4x\) 上的一点 \(A(x_1, y_1)\) 作抛物线的切线，分别交 \(x\) 轴于点 \(B\)，交 \(y\) 轴于点 \(C\)，点 \(P\) 是抛物线上的另一动点，若线段 \(OP\) 交 \(BC\) 于点 \(D\)，求证：点 \(D\) 在定直线上。 | 先求出抛物线在点 \(A\) 处的切线方程，确定点 \(B\)、\(C\) 的坐标，设点 \(P\) 的坐标为 \((x_2, y_2)\)，则直线 \(OP\) 的方程可求，联立直线 \(OP\) 和 \(BC\) 的方程，求出点 \(D\) 的坐标，消去参数后可发现点 \(D\) 的坐标满足某一固定的直线方程，从而证明点 \(D\) 在定直线上。 |
| 4 | 双曲线中的渐近线问题 | 双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的渐近线方程是什么？若点 \(M\)、\(N\) 是双曲线上关于原点对称的两点，点 \(P\) 是双曲线上的任意一点，求证：直线 \(PM\) 和 \(PN\) 的斜率之积为定值。 | 对于双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其渐近线方程为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)，对于第二问，设点 \(M(x_1, y_1)\)，则 \(N(-x_1, -y_1)\)，点 \(P(x_0, y_0)\)，根据双曲线方程可得 \(\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1\)，计算直线 \(PM\) 和 \(PN\) 的斜率之积，化简后可得到定值。 |
这些不联立的题型在高中数学中具有一定的代表性，通过对这些题型的练习和掌握，可以提高学生对数学问题的分析和解决能力，同时也有助于培养学生的逻辑思维和创新能力。
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