| 题型 | 具体题目示例 | 解题思路与要点 |
| 计算题 | 已知函数\(f(x)=x^2+\ln x\)，求\(f(x)\)在\(x = 1\)处的导数。 | 根据导数的定义或求导公式，对函数\(f(x)\)求导，得到\(f^\prime(x)=2x+\frac{1}{x}\)，然后将\(x = 1\)代入导数表达式可得\(f^\prime(1)=2\times1+\frac{1}{1}=3\)。 |
| 证明题 | 证明：对于任意实数\(x\)，都有\(\sin^2x+\cos^2x = 1\)。 | 可以利用三角函数的单位圆定义来证明，设角\(x\)的终边与单位圆交于点\(P(a,b)\)，则根据单位圆的半径为\(1\)以及点的坐标定义，有\(a^2 + b^2 = 1\)，而\(\sin x = b\)，\(\cos x = a\)，(\sin^2x+\cos^2x = b^2+a^2 = 1\)。 |
| 应用题 | 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，容积为\(4800m^3\)，池底每平方米的造价为\(150\)元，池壁每平方米的造价为\(120\)元，若使总造价最低，贮水池应设计成怎样的尺寸？ | 设水池的长、宽、高分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)米，根据体积公式可得\(xyz = 4800\)，总造价\(W = 150xy + 120(2xz + 2yz)\)，将\(z=\frac{4800}{xy}\)代入可得\(W = 150xy + 120(2x\frac{4800}{xy} + 2y\frac{4800}{xy}) = 150xy + \frac{1152000}{x}+\frac{1152000}{y}\)，再通过求偏导数等方法求出使\(W\)最小的\(x\)、\(y\)值以及对应的\(z\)值。 |
| 综合题 | 已知抛物线\(C:y^2 = 4x\)，过点\(P(4,0)\)作直线\(l\)与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，且弦\(AB\)的中点纵坐标为\(2\)，求直线\(l\)的方程。 | 设直线\(l\)的方程为\(x = my + 4\)，与抛物线方程联立可得\(y^2 - 4my - 16 = 0\)，设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，由韦达定理可得\(y_1 + y_2 = 4m\)，因为弦\(AB\)的中点纵坐标为\(2\)，(2m = 4\)，解得\(m = 2\)，从而直线\(l\)的方程为\(x - 2y - 4 = 0\)。 |
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