高中数学常见挖坑题有哪些？

高中数学常见“挖坑题”类型与应对策略

高中数学考试中，常出现一些看似简单却暗藏陷阱的题目，这类题被称为“挖坑题”，学生稍不留意就会掉入命题人设置的“坑”中，本文梳理几种典型题型，帮助考生精准避坑。

一、函数与方程中的“条件隐藏”

例题：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x-2} \)，求 \( f(f(x)) \) 的定义域。

易错点：多数学生直接计算 \( f(f(x)) = \frac{1}{\frac{1}{x-2}-2} \)，却忽略原函数 \( f(x) \) 的定义域要求 \( x \neq 2 \)，\( f(x) \) 作为内层函数时，其输出值 \( \frac{1}{x-2} \) 必须满足外层 \( f(f(x)) \) 的输入限制 \( \frac{1}{x-2} \neq 2 \)。

避坑方法：分段讨论定义域，优先分析每层函数的限制条件。

**二、几何题中的“图形误导”

例题：已知四边形 \( ABCD \) 中，\( AB=CD \)，\( AD=BC \)，求证其为平行四边形。

易错点：学生误以为“对边相等”可直接推出平行四边形，但实际需补充“对角相等”或“一组对边平行”的条件，否则可能存在反例（如空间四边形）。

避坑方法：立体几何中，未明确“共面”条件时，需警惕空间图形可能性。

**三、数列问题中的“极限边界”

例题：等比数列 \( \{a_n\} \) 前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，公比 \( q=2 \)，若 \( S_5 = 31 \)，求 \( a_1 \)。

易错点：直接套用公式 \( S_n = a_1 \frac{q^n -1}{q-1} \)，解得 \( a_1=1 \)，但若未验证 \( q \neq 1 \) 的前提条件，可能漏掉 \( q=1 \) 的特例（本题无需考虑，但命题人可能借此挖坑）。

避坑方法：使用公式前，先确认适用条件是否满足。

**四、概率题中的“语义歧义”

例题：抛一枚硬币3次，已知前两次均为正面，求第三次为正面的概率。

易错点：误用条件概率公式，认为第三次独立事件概率仍为 \( \frac{1}{2} \)，但题目若表述为“至少两次是正面”，则需重新计算条件空间。

避坑方法：仔细分析题目中的“已知条件”是否改变样本空间。

**五、代数运算中的“符号陷阱”

例题：解方程 \( \sqrt{x^2 - 4} = x - 2 \)。

易错点：平方后得 \( x^2 -4 = x^2 -4x +4 \)，解得 \( x=2 \)，但代入原方程检验，左边为0，右边为0，似乎正确，然而原方程中 \( sqrt{x^2 -4} \) 要求 \( x^2 -4 \geq 0 \)，即 \( x \geq 2 \) 或 \( x \leq -2 \），若题目改为 \( sqrt{x^2 -4} = 2 -x \)，则解集可能为空。

避坑方法：解根式方程务必检验定义域及解的合理性。