高中数学经典好题有哪些？

高中数学经典好题精选与解析

是提升思维能力的核心工具,本文精选高中数学不同领域具有代表性的经典问题，并附以清晰解析，助力同学们深化理解，突破重点难点。

函数与导数：动态变化的核心

经典函数题：二次函数图像变换与性质
- 题目： 已知函数 f(x) = x² - 4x + 3。 (1) 求函数图像的顶点坐标。 (2) 将函数图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，求所得新函数的解析式。 (3) 讨论函数 f(x) 在区间 [-1, 3] 上的最大值和最小值。
- 解析： 本题综合考察二次函数标准式、配方法求顶点、图像平移规律（左加右减，上加下减）以及在闭区间上的最值求法（需考虑顶点和端点），是掌握函数基本性质与图像变换的典范。
经典导数应用：切线方程与单调性
- 题目： 已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2。 (1) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程。 (2) 求函数 f(x) 的单调递增区间和单调递减区间。
- 解析： 本题是导数几何意义（求切线斜率）与导数分析函数单调性（解不等式 f'(x) > 0 或 f'(x) < 0）的直接应用，熟练掌握此类题目是解决更复杂导数问题的基础，关键在于准确求导和正确解不等式。

立体几何：空间想象与逻辑推理

经典位置关系题：线面平行与垂直
- 题目： 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点。 (1) 求证：直线 BD1 平行于平面 AEC。 (2) 求证：直线 A1D 垂直于平面 AEC。
- 解析： 正方体是研究空间线面关系的绝佳载体，本题训练运用线面平行判定定理（关键找线线平行）和线面垂直判定定理（关键证线线垂直），常通过作辅助线（如连接 AC, BD 交点 O，连接 OE）构建所需平行或垂直关系。
经典体积题：棱锥体积与截面
- 题目： 已知正三棱锥 S-ABC 底面边长为 a，侧棱长为 b。 (1) 求该正三棱锥的高 SO（O 为底面中心）。 (2) 求该正三棱锥的体积。 (3) 过棱 SA 的中点 M 且平行于底面 ABC 的平面截三棱锥，求所得棱台的体积。
- 解析： 本题融合勾股定理求高、棱锥体积公式 V = (1/3) * S底 * h、棱台体积公式 V = (1/3) * h * (S上 + S下 + √(S上*S下)) 以及平行截面性质（相似比），计算要求精准，步骤清晰。

数列：规律探索与模型建立

经典通项与求和题：裂项相消法
- 题目： 已知数列 {an} 的通项公式为 an = 1 / (n(n+1))。 (1) 求 a1, a2 的值。 (2) 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn。 (3) 求 lim(n→∞) Sn 的值。
- 解析： 本题是运用裂项相消法 (1 / (n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)) 求和的典型范例，掌握这种技巧对处理分式型数列求和至关重要，同时涉及数列极限的简单计算。
经典递推关系题：构造新数列
- 题目： 已知数列 {an} 满足 a1 = 1, a{n+1} = 2an + 1 (n ≥ 1)。 (1) 计算 a2, a3。 (2) 猜想数列 {an} 的通项公式，并用数学归纳法证明。 (3) 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn。
- 解析： 本题考察线性递推关系 a{n+1} = pan + q (p ≠ 1) 的解法——通过构造等比数列（设 a{n+1} + λ = p(an + λ)）求解通项，再结合数学归纳法证明，是数列问题中训练逻辑推理和构造能力的好题。

概率统计：数据分析与决策基础

经典古典概型题：基本事件空间
- 题目： 一个口袋中装有3个红球和2个白球，除颜色外无区别。 (1) 从中一次性随机摸出2个球，求摸到两个红球的概率。 (2) 从中随机摸出1个球，记录颜色后放回，连续摸两次，求两次摸到颜色相同的概率。
- 解析： 本题区分了“无放回抽样”（组合问题）和“有放回抽样”（分步乘法原理）两种基本模型，关键在于准确计算基本事件总数和有利事件数，是理解古典概型核心思想的入门经典。
经典分布题：二项分布应用
- 题目： 某射手每次射击击中目标的概率为 8，且各次射击相互独立，该射手连续射击4次。 (1) 求恰好击中目标2次的概率。 (2) 求至少击中目标1次的概率。
- 解析： 本题是二项分布 B(n, p) 的直接应用，需要熟练运用公式 P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^{n-k} 计算特定次数概率，以及利用对立事件 (P(至少1次) = 1 - P(0次)) 简化计算，理解独立性和重复试验是前提。

精选原则：

在我多年教学中发现,真正能提升能力的题目往往具备以下特点：紧扣核心概念与思想方法（如数形结合、分类讨论、化归转化）；解法具有代表性，能举一反三；难度适中，区分度好；源于教材或高考真题（如2023年全国卷导数题考查了类似上述第2题的切线单调性问题，2019年立体几何大题涉及与上述第3题类似的位置关系证明）。反复琢磨这类题目，吃透解题思路，远比盲目刷题更有效，建议同学们结合课本（如人教版必修一函数章节、选择性必修二数列与导数章节）配套习题进行针对性训练，遇到困难及时请教老师或与同学探讨。

掌握数学的精髓,离不开对这些经典问题的深入思考和反复练习，欢迎大家在评论区分享你心中的高中数学好题或解题心得。（题目来源参考：历年高考真题、人教版/北师大版等主流教材课后习题、省市重点中学模拟题）