一、复合函数的定义域问题
1、已知外层函数的定义域，求内层函数的定义域
- 设函数\( f(u) \)的定义域为（0,1），则函数\( f(\ln x) \)的定义域为_______，解析：由于\( f(u) \)的定义域为（0,1），即\( 0 < u < 1 \)，( \ln x \)的作用范围为（0,1），解得\( x \)的范围为（1,e）。
2、已知内层函数的定义域，求外层函数的定义域
- 若函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，则函数\( f(g(x)) \)的定义域为_______，解析：先求出\( f(x) \)的作用范围，再根据内层函数\( g(x) \)的定义域求解。
3、已知复合函数的定义域，求内层函数的定义域
- 已知函数\( f(g(x)) \)的定义域为（1,2），则函数\( g(x) \)的定义域为_______，解析：设\( f(g(x)) \)的定义域为\( D \)，由此得\( g(x) \)的值域为\( E \)，再根据\( f \)对\( x \)的作用范围求解。
二、复合函数的单调性问题
1、判定函数单调性
- 已知函数\( y = f(g(x)) \)，若\( g(x) \)在区间\( (a,b) \)上是减函数，其值域为\( (c,d) \)，又函数\( y = f(u) \)在区间\( (c,d) \)上是减函数，原复合函数\( y = f(g(x)) \)在区间\( (a,b) \)上是增函数，遵循同增异减原则。
三、复合函数的求导问题
1、求复合函数的导数
- 已知\( y = f(g(x)) \)，求\( \frac{dy}{dx} \)，解析：根据链式法则，\( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
四、复合函数的图像问题
1、确定复合函数的图像
- 已知\( y = f(g(x)) \)，如何确定其在平面直角坐标系上的图像？解析：先画出\( g(x) \)在\( x \)轴上对应的图像，将\( g(x) \)在\( x \)轴上对应的点代入\( f(x) \)中求出相应\( y \)值，然后将得到的所有点连成一条曲线即为\( h(x) \)在平面直角坐标系上对应的图像。
通过以上题型的练习和掌握，学生可以更好地理解和应用复合函数的概念和性质，提高解题的准确性和效率。
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