高中数学作为一门重要的学科，不仅要求学生具备扎实的基础知识，还需要掌握一些关键的难题和解题方法，以下是一些高中数学中需要背诵的难题及其解析：
1、函数与导数类
题目：已知函数\(f(x)=\ln x + ax^2 - (2a + 1)x\)，\(a\in R\)，求当\(a\gt0\)时，函数\(f(x)\)的单调区间。
解析：首先求导数\(f'(x)=\frac{1}{x} + 2ax - (2a + 1)\)，化简为\(f'(x)=\frac{2ax^2 - (2a + 1)x + 1}{x}\)，令分子\(2ax^2 - (2a + 1)x + 1 = 0\)，解得\(x_1 = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = \frac{1}{2a}\)，当\(0\lt a\lt\frac{1}{2}\)时，\(\frac{1}{2}\lt\frac{1}{2a}\)，\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{2})\)和\((\frac{1}{2a},+\infty)\)上单调递增，在\((\frac{1}{2},\frac{1}{2a})\)上单调递减；当\(a=\frac{1}{2}\)时，\(f'(x)=\frac{(x - 1)^2}{x}\geq0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增；当\(a\gt\frac{1}{2}\)时，\(0\lt\frac{1}{2a}\lt\frac{1}{2}\)，\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{2a})\)和\((\frac{1}{2},+\infty)\)上单调递增，在\((\frac{1}{2a},\frac{1}{2})\)上单调递减。
2、圆锥曲线类
题目：已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1\)、\(F_2\)，过点\(F_2\)作直线\(l\)交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，若\(\triangle ABF_1\)的周长为\(8\)，且椭圆的离心率为\(\frac{1}{2}\)，求椭圆的标准方程。
解析：根据椭圆的定义可知，\(\triangle ABF_1\)的周长为\(4a = 8\)，(a = 2\)，又因为离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，(c = 1\)，则\(b^2 = a^2 - c^2 = 3\)，所以椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。
3、数列类
题目：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(a_1 = 1\)，\(S_3 = 9\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
解析：由等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n = na_1+\frac{n(n - 1)d}{2}\)，将\(n = 3\)，\(a_1 = 1\)，\(S_3 = 9\)代入可得\(9 = 3×1 +\frac{3×2d}{2}\)，解得公差\(d = 2\)，所以数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = a_1+(n - 1)d = 1 + (n - 1)×2 = 2n - 1\)。
4、统计与概率类
题目：从数字\(1, 2, 3, 4, 5\)中随机抽取两个不同的数字，求这两个数字之和大于\(6\)的概率。
解析：从数字\(1, 2, 3, 4, 5\)中随机抽取两个不同的数字，共有基本事件\(C_5^2 = 10\)个，其中两个数字之和大于\(6\)的基本事件有\((2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)\)共\(4\)个，所以所求概率为\(\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)。
5、立体几何类
题目：已知正方体\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(1\)，点\(E\)是棱\(CC_1\)的中点，求异面直线\(AE\)与\(A_1B\)所成角的大小。
解析：以点\(A\)为坐标原点，分别以\(AB, AD, AA_1\)所在直线为\(x, y, z\)轴建立空间直角坐标系，则\(A=(0,0,0)\)，\(E=(1,1,\frac{1}{2})\)，\(A_1=(0,0,1)\)，\(B=(1,0,0)\)，所以向量\(\overrightarrow{AE}=(1,1,\frac{1}{2})\)，向量\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)\)，设异面直线\(AE\)与\(A_1B\)所成角为\(\theta\)，则\(\cos \theta=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{A_1B}}{|\overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{A_1B}|}=\frac{1×1 + 1×0 +\frac{1}{2}×(-1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (\frac{1}{2})^2}\times \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}=\frac{1}{3}\)，(\theta=\arccos \frac{1}{3}\)。
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