集合与常用逻辑用语
| 公式类型 | 公式内容 |
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| 元素与集合关系 | \(a\in A\)，表示元素 \(a\) 属于集合 \(A\)；\(a
otin A\)，表示元素 \(a\) 不属于集合 \(A\) |
| 空集相关 | \(\varnothing\subseteq A\)，空集是任何集合的子集 |
| 补集运算 | \(C_{U}A=\{x|x\in U且x
otin A\}\)，\(U\) 为全集，\(A\) 为全集的一个子集 |
| 并集、交集运算 | \(A\cup B=\{x|x\in A或x\in B\}\)，\(A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}\) |
| 德摩根定律 | \(C_{U}(A\cap B)=C_{U}A\cup C_{U}B\)，\(C_{U}(A\cup B)=C_{U}A\cap C_{U}B\) |
函数
1、函数定义域：常见函数的定义域需牢记，如分式函数分母不为零，对数函数真数大于零等。
2、函数值域：不同类型函数有不同求值域的方法和对应值域范围，如二次函数值域与开口方向、对称轴及判别式有关。
3、函数解析式：包括基本初等函数解析式，如一次函数 \(y = kx + b\)（\(k
eq0\)），反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\)（\(k
eq0\)），二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\)（\(a
eq0\)）等。
4、函数图像：掌握基本初等函数的图像特征，如正弦函数 \(y = \sin x\) 的图像是正弦曲线，余弦函数 \(y = \cos x\) 的图像是余弦曲线等。
5、函数性质：单调性、奇偶性、周期性等性质有相应的判断方法和公式应用，对于函数 \(f(x)\)，若在区间 \(D\) 上任意 \(x_1,x_2\in D\) 且 \(x_1 < x_2\) 时，都有 \(f(x_1) < f(x_2)\)，则 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上单调递增。
三角函数
1、诱导公式：\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\) 等。
2、两角和与差公式：\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)，\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)，\(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)。
3、二倍角公式：\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\)，\(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)。
4、辅助角公式：\(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)\)，\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)。
5、正弦定理：\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)。
6、余弦定理：\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)，\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\)，\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。
7、面积公式：\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B\)。
8、和差化积公式：\(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)，\(\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\)，\(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\)，\(\cos\alpha - \cos\beta = - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\)。
9、积化和差公式：\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)]\)，\(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)]\)，\(\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha - \beta)]\)。
10、万能公式：\(\sin\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}\)，\(\cos\alpha = \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}}\)，\(\tan\alpha = \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}\)。
平面向量
1、向量线性运算：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}\)，则 \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}-\overrightarrow{b}\)。
2、向量数量积：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\theta\) 为两向量夹角。
3、向量平行与垂直条件：若 \(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，则 \(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0\)，\(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0\)。
4、向量坐标运算：对于平面向量 \(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，有 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1 + x_2,y_1 + y_2)\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1 - x_2,y_1 - y_2)\)，\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)\)。
5、向量模长公式：若 \(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，则 \(|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)。
6、向量夹角公式：设 \(\theta\) 为向量 \(\overrightarrow{a}\) 与 \(\overrightarrow{b}\) 的夹角，则 \(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)。
7、平面向量基本定理：\(e_1\) 和 \(e_2\) 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 \(\overrightarrow{a}\)，有且只有一对实数 \(\lambda_1, \lambda_2\)，使 \(\overrightarrow{a} = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2\)。
数列
1、通项公式：根据数列的不同类型，如等差数列 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)（\(d\) 为公差），等比数列 \(a_n = a_1q^{n - 1}\)（\(q
eq0\) 为公比）等来求通项公式。
2、前 \(n\) 项和公式：等差数列前 \(n\) 项和 \(S_n = na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，等比数列前 \(n\) 项和 \(S_n=\begin{cases}na_1, & q = 1\\\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q
eq1\end{cases}\)。
3、等差中项与等比中项：若 \(a, b, c\) 成等差数列，则 \(b = \frac{a + c}{2}\)；若 \(a, b, c\) 成等比数列，则 \(b^2 = ac\)。
4、数列求和方法：包括错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，对于数列 \(\{a_n\}\)，若通项公式可写成 \(a_n = b_n + c_n\)，\(\{b_n\}\) 是等差数列，\(\{c_n\}\) 是等比数列，则可采用分组求和法求 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和。
5、数列极限：对于无穷数列 \(\{a_n\}\)，若存在常数 \(A\)，对于任意 \(\varepsilon > 0\)，总存在正整数 \(N\)，当 \(n > N\) 时，有 \(|a_n - A|< \varepsilon\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 的极限为 \(A\)，记作 \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)。
不等式
1、基本不等式：如 \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)（当且仅当 \(a = b\) 时取等号），\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)，\(ab \leq (\frac{a + b}{2})^2\)（当且仅当 \(a = b\) 时取等号）等。
2、不等式的性质：包括对称性、传递性、可加性等，若 \(a > b\)，则 \(a + c > b + c\)，若 \(a > b > 0, c > d > 0\)，则 \(ac > bd\)。
3、不等式的解法：一元二次不等式可通过因式分解或配方法求解；分式不等式需移项通分后转化为整式不等式求解；绝对值不等式需根据绝对值的定义分类讨论求解。
4、线性规划问题：利用目标函数的几何意义求最值，如 \(z = ax + by\) 在约束条件 \(Ax + By + C \geq 0\) 下的最值问题，可通过作出可行域，利用直线的平移找到最优解。
5、柯西不等式：设 \(a_i, b_i (i = 1, 2, \cdots, n)\) 为实数，则 \((a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2\)，当且仅当存在实数 \(k\)，使得 \(a_i = kb_i (i = 1, 2, \cdots, n)\) 时取等号。
