| 模型名称 | 模型特点 | 常见应用及解题思路 |
| 手拉手模型 | 由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，存在旋转全等关系。 | 在几何证明和计算中，常通过识别手拉手模型，利用全等三角形的性质来推导线段、角度之间的数量关系。 |
| 半角模型 | 通常涉及含有半角的图形结构，如直角三角形中斜边中线与斜边的一半构成的等腰三角形中的半角关系。 | 多用于解决与角度相关的几何问题，可通过构造辅助线等方式，将半角关系转化为其他已知条件，再进行求解。 |
| 将军饮马模型 | 描述的是从一个点到一条直线上多个点的最短路径问题，类似于将军从马棚到河边饮马后回到军营的最短路线。 | 一般采用对称法，将其中一个点关于直线对称，然后连接对称点与另一个点，交直线于一点，该点即为所求的最优点，从而解决最短路径类问题。 |
| 费马点模型 | 指在一个三角形内找到一个点，使得该点到三角形三个顶点的距离之和最小。 | 对于锐角三角形，费马点是使得该点与三角形三个顶点连线夹角都为120°的点；对于钝角三角形，费马点是钝角顶点，常用于优化路径、资源分配等问题。 |
| 相似八大模型 | 包括A型、8字型、X型、双子型、三垂直、一线三等角、鼠目寸光型、无效型等。 | 主要用于解决相似三角形的判定和性质相关问题，根据不同模型的特点，通过寻找相似三角形的对应边成比例、对应角相等的关系来求解线段长度、角度大小等问题。 |
| 二次函数中等积变换模型 | 在二次函数图像与坐标轴围成的图形中，通过等面积变换来解决问题，如将不规则图形分割或补全为规则图形，使其面积相等。 | 常用于求解与二次函数图像相关的图形面积问题，通过灵活运用面积公式和等量代换思想，建立方程求解未知数。 |
| 二次函数中线段最值模型 | 涉及到二次函数图像上的动点与定点之间线段长度的最值问题。 | 通常采用设点坐标的方法，表示出动点和定点的坐标，然后利用两点间距离公式或几何性质，构建二次函数表达式，再根据二次函数的最值求法求解线段的最值。 |
| 二次函数中面积最值模型 | 主要研究二次函数图像与直线或其他曲线围成的图形面积的最大值或最小值问题。 | 一般先确定图形的边界方程或函数表达式，然后通过积分、几何方法或配方法等求出面积的表达式，最后根据二次函数的性质求出面积的最值。 |
| 二次函数中等腰三角形存在性模型 | 探讨在二次函数图像上是否存在点，使得与给定的两个定点构成等腰三角形。 | 分情况讨论，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质和两点间距离公式，建立方程求解点的坐标，若方程有解则存在，无解则不存在。 |
| 二次函数中直角三角形存在性模型 | 研究在二次函数图像上是否存在点，使得与给定的两个定点构成直角三角形。 | 同样需要分类讨论，根据直角的不同位置，利用勾股定理或向量的数量积等方法，建立方程求解点的坐标，判断直角三角形的存在性。 |
| 二次函数中平行四边形存在性模型 | 判断在二次函数图像上是否存在点，使得与给定的三个点构成平行四边形。 | 根据平行四边形的性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等，设出点的坐标，建立方程组求解，若方程组有解则存在平行四边形，无解则不存在。 |
| 拐角模型 | 通常出现在几何图形中，由两条相交线段形成的夹角处，具有一定的几何性质和规律。 | 在解决与角度、线段关系相关的问题时，可利用拐角模型的特殊性质，如角度的相等、互补关系，以及线段的比例关系等，通过添加辅助线、构造全等等方法进行求解。 |
| 八字模型 | 由两个全等的等腰三角形组成，形状类似“八字”，具有特定的边长和角度关系。 | 常用于证明线段相等、角度相等问题，通过识别八字模型，可直接得出全等三角形的对应边和对应角相等的结论，简化证明过程。 |
| 内角平分模型 | 涉及到三角形的内角平分线，将一个角分成两个相等的角，同时产生一些特殊的性质和比例关系。 | 在求解与三角形相关的问题时，可利用内角平分线的性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等、内角平分线定理等，通过设未知数、列方程等方法求解线段长度、角度大小等问题。 |
| 内外角平分模型 | 结合了三角形的内角平分线和外角平分线，涉及到更复杂的角度和线段关系。 | 可用于解决一些综合性较强的几何问题，如证明线段的平行、垂直关系，求解三角形的内外角平分线的交点等问题，需要灵活运用内外角平分线的性质和定理。 |
| 平行平分模型 | 主要是指一组平行线被一条直线所截形成的线段被另一条直线平分的情况。 | 在几何证明和计算中，可利用平行线的性质和线段平分的条件，推导出其他线段的平行、相等关系，进而解决问题。 |
| 倍长中线模型 | 在三角形中，将中线延长一倍后得到的线段与原三角形的边存在特定的关系。 | 常用于解决与三角形中线相关的问题，可将中线问题转化为边的问题，通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解线段的长度、角度的大小等。 |
| 射影定理模型 | 描述了直角三角形中斜边上的高与两直角边之间的关系，即斜边的平方等于两直角边的乘积。 | 在直角三角形的相关问题中，如求解线段的长度、证明线段的比例关系等，可直接应用射影定理进行计算和推导。 |
| 斜边中线模型 | 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，并且将三角形分成两个等腰三角形。 | 可用于求解直角三角形中斜边的中线长度，以及与斜边中线相关的线段、角度问题，同时也可作为证明三角形全等或相似的依据之一。 |
| 对称折叠模型 | 通过对图形进行对称或折叠操作，将问题转化为更简单的形式，利用对称的性质求解。 | 在解决几何问题时，可根据图形的特点进行对称或折叠，找到对应的全等图形或相似图形，从而简化问题的难度，快速求解。 |
| 平移构造模型 | 将图形中的某一部分进行平移，创造出新的图形或条件，以便更好地解决问题。 | 常用于解决与图形的位置关系、线段长度等相关的问题，通过平移构造出全等三角形、平行四边形等特殊图形，再利用这些图形的性质进行求解。 |
| 相似旋转模型 | 涉及到图形的相似变换和旋转操作，通过相似比和旋转角度来确定图形的位置和大小关系。 | 在解决几何综合问题时，可利用相似旋转模型将复杂的图形进行转化和简化，通过相似三角形的性质和旋转的性质求解未知量。 |
| 最短路程模型 | 研究在平面内或空间中两点之间的最短路径问题，通常与几何图形的性质和距离公式有关。 | 可利用轴对称、平移等方法将问题转化为直线距离问题，再根据两点之间直线最短的原理求解最短路程；也可通过建立函数模型，利用导数等方法求最值来确定最短路程。 |
| 反比例函数基本图形模型 | 由反比例函数y=k/x（k≠0）的图像及其性质构成的基本模型。 | 主要用于解决与反比例函数相关的问题，如根据已知条件求反比例函数的解析式、利用反比例函数的性质求解点的坐标、判断点是否在反比例函数图像上等。 |
| “123”定标导角模型 | 一种用于确定角度的特殊模型，通过特定的方法和步骤来引导角度的求解。 | 在解决与角度测量、计算相关的问题时，可按照“123”定标导角模型的步骤进行操作，如先确定基准线，再依次找出与角度相关的条件和关系，最后求解角度的大小。 |
| 定标导比模型 | 用于确定线段之间的比例关系，通过设定标准量或参考量来引导比例关系的求解。 | 在解决与线段比例相关的问题时，如相似三角形的对应边成比例、平行线分线段成比例定理的应用等，可借助定标导比模型确定比例关系，进而求解未知线段的长度或比例值。 |
| 定标导点模型 | 通过设定特定的点作为参考点或标准点，来引导其他点的坐标或位置关系的求解。 | 在平面直角坐标系或几何图形中，当已知某些点的坐标或位置关系时，可利用定标导点模型确定其他点的坐标或位置，从而解决与点的位置相关的问题。 |
| 定标导面模型 | 用于确定平面或立体图形的表面积、体积等几何量的计算或求解。 | 根据已知条件确定一个标准面，然后通过定标导面模型将其他面的面积或体积与标准面进行关联和计算，最终求出所需的几何量。 |
| 定标导体模型 | 在立体几何中，通过设定一个标准体来引导其他几何体的体积、表面积等几何量的求解。 | 当已知某些几何体的体积或表面积时，可利用定标导体模型将待求几何体与标准体进行比较和计算，从而求出未知几何体的体积或表面积。 |
| 定标导数模型 | 在数学问题中，当涉及到数列、函数等变化规律时，可通过设定一个标准数来确定其他数的值或变化规律。 | 例如在等差数列中，已知首项a₁和公差d，可通过定标导数模型确定第n项an的值；在函数问题中，已知函数在某一点的值和导数，可利用定标导数模型求解函数在其他点的值或函数的极值等。 |
| 定标导图模型 | 在图形问题中，通过设定一个标准图形来引导其他图形的形状、大小、位置等属性的求解。 | 例如在相似多边形中，已知一个多边形的边长和角度，可通过定标导图模型确定其他相似多边形的对应边长和角度；在几何变换问题中，可利用定标导图模型确定变换后图形的位置和形状。 |
| 定标导积模型 | 在几何问题中，当涉及到图形的面积、体积等乘积运算时，可通过设定一个标准积来确定其他积的值或关系。 | 例如在长方形中，已知长a和宽b的乘积为面积S，若要求长增加m后的面积变化，可通过定标导积模型确定新的面积为(a+m)×b=S+mb；在立体几何中，已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，体积为abc，若要求长增加m后的体积变化，可通过定标导积模型确定新的体积为(a+m)bc=abc+mbc。 |
| 定标导式模型 | 在代数问题中，当涉及到式子的化简、求值、变形等操作时，可通过设定一个标准式来确定其他式的值或形式。 | 例如在多项式中，已知一个多项式P(x)在某点x₀处的值为P(x₀)，要求在该点附近的近似值，可通过定标导式模型确定泰勒展开式的前几项来近似表示P(x)在x₀附近的值；在方程问题中，已知一个方程f(x)=0的根为x₀，要求在该根附近的近似根，可通过定标导式模型确定牛顿迭代法的迭代公式来逐步逼近新的根。 |
| 定标导行模型 | 在排列组合或概率问题中，当涉及到事件的排列顺序或选择方式时，可通过设定一个标准行来确定其他行的排列或选择方式。 | 例如在排列问题中，已知一排文字的排列顺序为abcdefg，要求将其中的某几个字母交换位置后的排列顺序，可通过定标导行模型确定交换后的新排列顺序；在组合问题中，已知从n个元素中选取k个元素的组合方式有Cₙ^{k}种，若要求选取其中某几个元素的组合方式，可通过定标导行模型确定具体的组合方式。 |
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