高中数学逻辑模块主要包括命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词和量词,以下为你详细介绍:
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模块 | 具体内容 | 示例 |
命题及其关系 | 命题的概念:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题,3是奇数”是真命题,“5是偶数”是假命题。 四种命题:原命题:“若p,则q”;逆命题:“若q,则p”;否命题:“若非p,则非q”;逆否命题:“若非q,则非p”,例如原命题“若一个数是2,则这个数是偶数”,其逆命题为“若一个数是偶数,则这个数是2”,否命题为“若一个数不是2,则这个数不是偶数”,逆否命题为“若一个数不是偶数,则这个数不是2”。 四种命题的关系:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假。 | 原命题:“若一个三角形是等边三角形,则它的三个内角都是60°”,逆命题:“若一个三角形的三个内角都是60°,则它是等边三角形”,否命题:“若一个三角形不是等边三角形,则它的三个内角不都是60°”,逆否命题:“若一个三角形的三个内角不都是60°,则它不是等边三角形”。 |
充分条件与必要条件 | 充分条件:如果A能推出B,那么A是B的充分条件,x=2”是“x²=4”的充分条件,因为当x=2时,一定有x²=4。 必要条件:如果B能推出A,那么A是B的必要条件,x²=4”是“x=2”的必要条件,因为要使x=2成立,必须有x²=4。 充要条件:如果A既是B的充分条件,又是B的必要条件,那么A是B的充要条件,x=±2”是“x²=4”的充要条件,因为当x=±2时,x²=4成立;反之,当x²=4时,x=±2也成立。 | “x>1”是“x²>1”的充分不必要条件,因为x>1能推出x²>1,但x²>1不能推出x>1;“x²>1”是“x>1”的必要不充分条件,因为要使x>1成立,必须有x²>1,但x²>1不一定推出x>1。 |
简单的逻辑联结词 | 且(∧):表示同时满足两个条件,3是正数且3是整数”,用符号表示为“3是正数∧3是整数”,只有当两个条件都成立时,该命题才为真。 或(∨):表示至少满足一个条件,今天是周一或天空是晴朗的”,用符号表示为“今天是周一∨天空是晴朗的”,只要其中一个条件成立,该命题就为真。 非(¬):表示对一个条件的否定,今天不是周一”,用符号表示为“¬今天是周一”,原命题为真时,非命题为假,反之亦然。 | “小明的成绩优秀且小明品德高尚”,用符号表示为“小明的成绩优秀∧小明品德高尚”;“小明的成绩优秀或小明品德高尚”,用符号表示为“小明的成绩优秀∨小明品德高尚”;“小明的成绩不优秀”,用符号表示为“¬小明的成绩优秀”。 |
量词 | 全称量词:表示在一定范围内的所有对象都具有某种性质,所有的正方形都是矩形”,“所有的”就是全称量词,用符号“∀”表示。 存在量词:表示在一定范围内存在某个对象具有某种性质,有的平行四边形是菱形”,“有的”就是存在量词,用符号“∃”表示。 | “∀x∈R,x²≥0”表示对于任意实数x,都有x²≥0;“∃x∈Z,x²=2”表示存在整数x,使得x²=2。 |