在高中数学的学习过程中，有许多经典的题目和题型可以帮助学生巩固知识点、提高解题能力，以下是一些高中数学中具有代表性的题目：
1、函数类
函数的定义域与值域问题：例如求函数\(y = \sqrt{x^2 - 4x + 3}\)的定义域和值域，这类题目主要考查对函数定义域和值域概念的理解以及求解方法的掌握，需要根据函数的性质和相关不等式来确定。
函数的单调性与奇偶性：判断函数\(f(x)=x^3 - 3x\)的单调性和奇偶性，这要求学生能够运用导数等工具来分析函数的单调性，同时理解奇偶性的定义并进行判断。
函数的综合应用：已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}+a\ln x\)，若对任意\(x_1,x_2\in[1,+\infty)\)且\(x_1>x_2\)，都有\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1\)，求实数\(a\)的取值范围，此题综合考查了函数的单调性、导数的应用以及对不等式的处理能力。
2、数列类
等差数列与等比数列的性质：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(a_1=1\)，\(S_5=25\)，求公差\(d\)和通项公式\(a_n\)，通过已知条件列出方程，求解出公差和通项公式，考查对等差数列性质的运用。
数列的求和：求数列\(\{n\times2^n\}\)的前\(n\)项和，这类题目通常需要使用错位相减法等特殊方法来进行求和，对学生的思维能力和运算能力有一定要求。
数列的综合问题：设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求数列的通项公式及前\(n\)项和，需要先通过构造等比数列等方法求出通项公式，再进一步求和，综合性较强。
3、三角函数类
三角函数的化简与求值：化简\(\sin(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4})\)，利用三角函数的两角和与差公式进行化简，考查对三角函数公式的记忆和运用能力。
三角函数的图像与性质：求函数\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)的最小正周期、振幅、初相以及单调区间等，通过对三角函数图像和性质的理解，分析出函数的相关特征。
三角恒等变换：证明\(\frac{\sin x}{\cos x - 1} + \frac{\cos x}{\sin x - 1} = 1\)，需要灵活运用三角恒等变换公式，如平方差公式、倍角公式等进行证明。
4、立体几何类
空间几何体的结构特征：判断一个三棱锥的各个面的形状、边的关系以及异面直线的位置关系等，通过观察和分析空间几何体的图形，培养学生的空间想象能力。
空间向量在立体几何中的应用：已知正方体\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(a\)，建立空间直角坐标系，求异面直线\(AC\)与\(BC_1\)所成角的余弦值，利用空间向量的坐标表示和数量积运算来解决立体几何中的夹角、距离等问题。
立体几何的综合问题：在一个四棱锥中，已知底面是矩形，侧面都是等腰三角形，求证某些线面垂直关系以及计算二面角的大小等，综合考查空间几何体的性质、线面关系和二面角的计算。
5、解析几何类
直线与圆的位置关系：判断直线\(3x + 4y - 5 = 0\)与圆\(x^2 + y^2 = 1\)的位置关系，通过计算圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定位置关系，考查对直线与圆的位置关系的判定方法的掌握。
椭圆与双曲线的性质：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(a\)与\(b\)的关系，根据椭圆的离心率公式\(e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\)进行分析计算，考查对椭圆性质的理解和运用。
抛物线的综合问题：过抛物线\(y^2 = 2px\)的焦点作一条直线交抛物线于两点，求这两点之间的距离以及中点的坐标等，需要结合抛物线的定义、标准方程和直线方程进行综合求解。
6、不等式类
一元二次不等式的解法：解不等式\(x^2 - 5x + 6>0\)，通过因式分解或求根公式求出一元二次方程的根，再根据一元二次不等式的解法确定解集，考查对不等式基本解法的掌握。
基本不等式的应用：已知正实数\(a,b\)满足\(a + b = 1\)，求\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值，利用基本不等式\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)进行变形和求解，考查对基本不等式的应用能力。
不等式的证明：证明对于任意正实数\(x,y,z\)，都有\(x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz\)，需要运用综合法、分析法等方法进行证明，对学生的逻辑推理能力要求较高。