高中数学的扩展式题目涵盖了多个领域，包括函数、数列、三角函数、立体几何等，这些题目不仅考察学生的基础数学知识，还要求他们具备灵活运用拓展公式和解题技巧的能力，以下是一些典型的高中数学扩展式题目及其解析：
1、函数类
题目示例：已知函数 \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，求该函数在区间 [-1, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先求出函数的导数 \( f'(x) = 2x + 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = -1.5 \)，然后分别计算 \( x = -1 \), \( x = -1.5 \), \( x = 2 \) 时的函数值，比较得出最大值和最小值。
2、数列类
题目示例：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \( a_{n+1} = 2a_n + 3 \)，且 \( a_1 = 1 \)，求该数列的前五项。
解析：根据递推关系式，依次计算 \( a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5 \)，\( a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13 \)，依此类推，直到计算出前五项。
3、三角函数类
题目示例：已知 \(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\) 且 \(\theta\) 在第二象限，求 \(\sin(2\theta)\) 和 \(\cos(2\theta)\) 的值。
解析：由于 \(\theta\) 在第二象限，\(\cos(\theta)\) 为负值，根据 \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\)，求得 \(\cos(\theta) = -\frac{4}{5}\)，然后利用二倍角公式计算 \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = -24/25\)，\(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 7/25\)。
4、立体几何类
题目示例：已知正方体边长为 \(a\)，求其内切球和外接球的半径。
解析：正方体的内切球半径等于其边长的一半，即 \(r_{\text{内}} = \frac{a}{2}\)，外接球半径等于正方体对角线的一半，即 \(r_{\text{外}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)。
5、解析几何类
题目示例：已知直线 \(l_1: y = mx + b\) 与直线 \(l_2: y = -mx + c\) 垂直，求 \(m\) 和 \(c\) 的关系。
解析：两直线垂直的条件是斜率之积为 -1，即 \(m \cdot (-m) = -1\)，解得 \(m = \pm 1\)，由于 \(b\) 和 \(c\) 不影响斜率，因此只需考虑 \(m\) 的值。
6、复数类
题目示例：已知复数 \(z = 3 + 4i\)，求其共轭复数和模。
解析：共轭复数为 \(z^* = 3 - 4i\)，模为 \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。
这些题目只是高中数学扩展式题目的一部分，它们涵盖了函数、数列、三角函数、立体几何等多个领域，通过解答这些题目，学生可以加深对数学概念的理解，提高解题效率和准确性。
