圆柱的认识与计算
一、圆柱的基本概念
1. 圆柱的形成
- 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
- 圆柱也可以由长方形卷曲形成。
2. 圆柱各部分名称
底面：圆柱的两个圆面，分为上底和下底。
侧面：圆柱周围的曲面。
高：两个底面之间的距离，即圆柱的高，有无数条相等的高。
3. 圆柱的特征
- 上下底面是两个完全相同的圆。
- 侧面是一个曲面。
- 圆柱有无数条相等的高。
4. 圆柱的切割与展开图
横切：平行于底面切割，切面是圆形，表面积增加两倍的底面积。
竖切：沿底面直径切割，切面是长方形，表面积增加两个长方形的面积。
侧面展开图：沿高展开是长方形或正方形（若底面周长等于高时）。
二、圆柱的表面积和体积计算
1. 侧面积
圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高：
\[ \text{侧面积} = 2\pi rh \]
\( r \) 是底面半径，\( h \) 是高。
2. 表面积
圆柱体的表面积等于两个底面的面积加上侧面积：
\[ \text{表面积} = 2\pi r^2 + 2\pi rh \]
3. 体积
圆柱体的体积等于底面积乘以高：
\[ \text{体积} = \pi r^2 h \]
三、典型例题解析
例题1：填空题
一个圆柱的底面直径是6厘米，高是8厘米，求它的侧面积和表面积。
解答步骤：
求底面半径：\( r = \frac{6}{2} = 3 \)厘米
求底面周长：\( 2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi \)厘米
求侧面积：\( 2\pi rh = 6\pi \times 8 = 48\pi \)平方厘米
求表面积：\( 2\pi r^2 + 侧面积 = 2\pi \times 3^2 + 48\pi = 54\pi + 48\pi = 102\pi \)平方厘米
例题2：选择题
把一根长2米的圆柱形钢材截成4个小圆柱，这4个小圆柱的表面积之比原来增加多少？
A. 1884 cm² B. 3140 cm² C. 78.5 cm² D. 157 cm²
解答步骤：
每截一次增加两个底面，截3次共增加6个底面。
每个底面面积：\( \pi \times (\frac{2}{2})^2 = \pi \times 1 = \pi \)平方分米
总增加面积：\( 6\pi = 18.84 \)平方分米
转换为平方厘米：\( 18.84 \times 100 = 1884 \)平方厘米
因此正确答案是A。
四、练习题
练习题1：填空题
一个圆柱的底面半径为3厘米，高为4厘米，求它的体积。
解答步骤：
求底面积：\( \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \)平方厘米
求体积：\( 9\pi \times 4 = 36\pi \)立方厘米
练习题2：选择题
一个圆柱的底面直径是10米，高是6米，它的体积是多少立方米？
A. 2021 m³ B. 64 m³ C. 16 m³ D. 78.5 m³
解答步骤：
求底面半径：\( r = \frac{10}{2} = 5 \)米
求底面积：\( \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \)平方米
求体积：\( 25\pi \times 6 = 150\pi \)立方米
因此正确答案是D。
练习题3：判断题
圆柱的侧面展开后一定是长方形或正方形。（）
解答步骤：
根据圆柱的侧面展开图性质，当沿着高展开时，得到一个长方形或正方形（如果底面周长等于高），因此该命题是正确的。
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