高中数学是学生学术生涯中至关重要的一部分，通过经典题目的学习和练习，可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高解题能力，以下是一些高中数学的典范题目，涵盖了代数、几何、函数、三角等多个领域，旨在全面提升学生的数学素养和解题技巧。
一、代数部分
多项式展开与因式分解
题目：展开 \((1+2x)^3(1-3x)^5\) 并求 \(x\) 的系数。
答案：
- 原式 = \((1+6x+12x^2+8x^3)\)( \(1-15x+90x^2-270x^3+405x^4-405x^5+1215x^6-945x^7+243x^8\) )
- 合并同类项后，\(x\) 的系数为 \(-4\)。
该题目考查了二项式定理的应用以及多项式的乘法运算。
方程与不等式
题目：解不等式 \(2x-5 > 11\)。
答案：
- 解：\(2x > 16\)
- \(x > 8\)
此题主要考查了一元一次不等式的解法，包括移项和系数化1的步骤。
函数值域
题目：求函数 \(y=x+\frac{1}{x}\) 的值域。
答案：
- 当 \(x>0\) 时，\(y=x+\frac{1}{x} \geq 2\)，当且仅当 \(x=1\) 时取等号。
- 当 \(x<0\) 时，\(y=-(-x+\frac{1}{-x}) \leq -2\)，当且仅当 \(x=-1\) 时取等号。
- 函数的值域为 \((-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\)。
此题考查了函数的值域问题，需要分类讨论自变量的取值范围。
二、几何部分
解析几何
题目：已知双曲线 \(C: x^2 - y^2 = 1\)，点 \(F_1, F_2\) 分别为其左、右焦点，点 \(P\) 在 \(C\) 上且 \(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，求点 \(P\) 到 \(x\) 轴的距离。
答案：
- 根据双曲线的性质，\(a=b=1\)，\(c=\sqrt{2}\)。
- 设点 \(P(x_0, y_0)\)，则 \(\frac{y_0}{x_0-c} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
- 因为 \(x_0^2 - y_0^2 = 1\)，联立方程可解得 \(y_0 = \frac{3}{2}\)。
- 所以点 \(P\) 到 \(x\) 轴的距离为 \(\frac{3}{2}\)。
该题目综合考查了双曲线的定义、焦点性质以及三角函数的应用。
立体几何
题目：正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，\(E\)、\(F\) 分别是 \(AB\)、\(AD\) 的中点，求异面直线 \(BF\) 与 \(CE\) 所成角的大小。
答案：
- 连接 \(B_1F\)，由于 \(E\)、\(F\) 分别是 \(AB\)、\(AD\) 的中点，\(B_1F \parallel CE\)。
- 异面直线 \(BF\) 与 \(CE\) 所成的角即为 \(BF\) 与 \(B_1F\) 所成的角。
- 在直角三角形 \(B_1BF\) 中，易求得所成角的大小为 \(45^\circ\)。
此题考查了空间想象能力和异面直线所成角的求解方法。
三、函数与导数部分
函数性质
题目：若函数 \(f(x)=|lg|x||\)，且 \(0<a<b<1\)，则 \(f(a)+f(b)\) 的取值范围是（）。
A. (2, +∞) B. (3, +∞) C. (, +∞) D. [3, +∞)
答案：
- 因为 \(0<a<b<1\)，\(lg a<lg b<0\)，\(f(a)+f(b)=|lg a|+|lg b|= -lg a -lg b = -(lg a +lg b) = -lg(ab)\)。
- 因为 \(0<ab<1\)，\(lg(ab)<0\)，\(-lg(ab)>0\)。
- 当 \(ab\) 趋近于0时，\(-lg(ab)\) 趋近于无穷大，\(f(a)+f(b)\) 的取值范围是 (,2, +∞)，故选A。
该题目考查了对数函数的性质、绝对值函数的性质以及复合函数的单调性。
导数应用
题目：求函数 \(f(x)=x^3-3x^2+2\) 的极值。
答案：
- 求导得：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。
- 令 \(f'(x)=0\)，解得 \(x=0\) 或 \(x=2\)。
- 当 \(x<0\) 时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当 \(0<x<2\) 时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当 \(x>2\) 时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
- 当 \(x=0\) 时，函数取得极大值 \(f(0)=2\)；当 \(x=2\) 时，函数取得极小值 \(f(2)=0\)。
此题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题。
四、三角函数部分
三角恒等变换
题目：已知 \(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}\)，求 \(\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta+\cos 2\alpha\cdot\sin 2\beta\) 的值。
答案：
- 原式 = \(\frac{1}{2}(\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta+\cos 2\alpha\cdot\sin 2\beta+\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta-\sin 2\alpha\cdot\cos 2\beta)\)
- = \(\frac{1}{2}(\sin 2(\alpha+\beta)+\sin 2(\alpha-\beta))\)
- = \(\frac{1}{2}(2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta))\)
- = \(\sin(\alpha+\beta)\cdot\cos(\alpha-\beta)\)。
- 因为 \(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}\)，\(\sin(\alpha+\beta)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
- \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac{1+\cos 2(\alpha-\beta)}{2}\)。
- 因为 \(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}\)，\(\alpha+\beta=120^\circ\) 或 \(240^\circ\)，即 \(\beta=120^\circ-\alpha\) 或 \(\beta=240^\circ-\alpha\)。
- 当 \(\beta=120^\circ-\alpha\) 时，代入可得 \(\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}\)，此时原式 = \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{4}\)；同理可得当 \(\beta=240^\circ-\alpha\) 时原式也为-\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)。
- 原式的值为 \(-\frac{\sqrt{3}}{4}\)。
该题目综合考查了三角恒等变换公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系。
