在高中数学中，分类讨论是一种重要的解题策略和方法，以下是一些常见的分类讨论类型：
| 分类讨论类型 | 具体说明 | 示例 |
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| 方程问题 | 根据方程的类型（如一元一次方程、一元二次方程等）、系数的取值范围或根的情况等进行分类讨论。 | 对于方程\(ax^2 + bx + c = 0\)，当\(a
eq 0\)时为一元二次方程，可根据判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)的值分类讨论根的情况；当\(a = 0\)时，方程变为一元一次方程\(bx + c = 0\)，需根据\(b\)是否为零进一步讨论。 |
| 函数问题 | 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质进行分类讨论。 | 对于函数\(y = \frac{1}{x}\)，其定义域为\(x
eq 0\)，可按\(x > 0\)和\(x < 0\)两种情况讨论函数的单调性和图像特征。 |
| 几何问题 | 根据图形的形状、位置关系、度量性质等进行分类讨论，在三角形中，可按边长关系分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形；按角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 | 在四边形ABCD中，若已知\(AB \parallel CD\)，则可按\(AD\)与\(BC\)是否平行分为平行四边形和梯形两种情况进行讨论。 |
| 数列问题 | 根据数列的通项公式、前n项和公式、递推关系等进行分类讨论，对于等差数列和等比数列，它们的通项公式和求和公式不同，在解决相关问题时需要分别讨论。 | 已知数列\(\{a_n\}\)的前n项和\(S_n = n^2 + 1\)，求通项公式\(a_n\)，当\(n = 1\)时，\(a_1 = S_1 = 2\)；当\(n \geq 2\)时，\(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 1) - [(n-1)^2 + 1] = 2n - 1\)，数列的通项公式为分段形式：\(a_n = \begin{cases} 2, & n = 1 \\ 2n - 1, & n \geq 2 \end{cases}\)。 |
| 参数问题 | 根据参数的取值范围、性质等进行分类讨论。 | 对于不等式\(ax > 1\)，当\(a > 0\)时，解为\(x > \frac{1}{a}\)；当\(a < 0\)时，解为\(x < \frac{1}{a}\)；当\(a = 0\)时，不等式无解。 |
| 概念问题 | 根据数学概念的定义、条件等进行分类讨论，对于绝对值的概念，可根据绝对值内的数的正负性进行分类讨论。 | 比较\(|x + 1|\)和\(|x - 1|\)的大小，可分三种情况：当\(x \geq 1\)时，\(x + 1\)和\(x - 1\)均为非负数，可直接比较大小；当\(-1 \leq x < 1\)时，\(x + 1\)为非负数，\(x - 1\)为负数，(|x + 1| \geq |x - 1|\)；当\(x < -1\)时，\(x + 1\)和\(x - 1\)均为负数，同样可直接比较大小。 |
